En realidad, ¿por qué debería preocuparse un físico práctico por el Teorema de Noether?

Question

El Teorema de Noether (en sus diversas encarnaciones) es una asombrosa conexión entre simetrías y leyes de conservación que se aplica a una gran clase de sistemas dinámicos. Personalmente, me parece sumamente bello, interesante y sorprendente.

Sin embargo, me planteo las siguientes preguntas, a las que no consigo dar una respuesta convincente:

1. Si no conociéramos el Teorema de Noether, ¿se vería mermada en la práctica nuestra capacidad para predecir el comportamiento de cualquier sistema dinámico real?
2. En relación con la primera pregunta: ¿se conoce alguna ley de conservación para algún sistema que con toda probabilidad no hubiéramos descubierto sin el Teorema de Noether y que haya servido como herramienta importante para comprender su dinámica?
3. ¿Ha permitido el Teorema de Noether construir algún modelo o modelos de sistemas dinámicos reales (incluso sencillos) que habrían sido prohibitivamente difíciles de construir sin el conocimiento del teorema?

En resumen, ¿es el teorema de Neother sólo una cosa bonita y brillante que es divertido mirar y que da una idea de cómo funcionan los sistemas dinámicos, o es algo que ha sido realmente necesario para hacer cosas prácticamente importantes relacionadas con sistemas reales?

Agradecería ejemplos concretos, cuantos más mejor.

Answer 1

Las 10 razones principales

Esta es una gran pregunta sobre la que yo mismo he reflexionado largamente. Tal y como se presenta el teorema de Noether en los libros de texto, en realidad no es más que esa cosa bonita y brillante que no tiene mucho que ver con nada. Sin embargo, nada más lejos de la realidad. Aquí voy a exponer, en orden de menor a mayor importancia, por qué el teorema de Noether es tan vital y ÚTIL ¡a la física!

1. Estética/Belleza. Aunque creo que esta es la razón menos importante, hay algo muy agradable para los seres humanos en decir que las leyes de conservación provienen de las simetrías. Es estéticamente agradable, como una obra de arte. En realidad, creo que es mucho más hermoso pensar en ello no en la formulación lagrangiana como se suele presentar, sino en la formulación hamiltoniana. Entonces tienes todo un rico conjunto interrelacionado de fenómenos en lugar de una única simetría direccional --> ley de conservación. Pero estoy divagando.

2. El Teorema de Noether permite encontrar cantidades conservadas de forma automática. Es fácil convertirse en un aficionado a la lectura de todas las cantidades conservadas de un Lagrangiano dado. Por ejemplo, aunque Isaac Newton conocía la conservación del momento, no conocía la conservación de la energía. Tuvo que pasar mucho tiempo para que la gente se diera cuenta de que había una cantidad llamada energía que se conservaba. En el pasado, la gente tardaba mucho tiempo en encontrar cantidades conservadas, basándose en la observación empírica. Ahora podemos identificar las cantidades conservadas muy fácilmente, y sabemos dónde buscar para encontrarlas.

3. Las cantidades conservadas facilitan la resolución de problemas. A veces, si hay suficientes cantidades conservadas, el sistema es integrable. Otras veces, como en termodinámica, aunque tu sistema se comporte de una manera tan complicada, ciertas cosas como la energía siempre se conservarán. De hecho, la conservación de la energía es quizá el supuesto más importante de la termodinámica, ya que permite definir la temperatura y deducir la distribución de Boltzmann, entre otras cosas.

4. El teorema de Noether permite identificar la expresión de una misma cantidad conservada entre distintos sistemas. Este es enorme. Consideremos, por ejemplo, la paradoja del disco de Feynman, que aparece en la sección 17-4 del Volumen II de sus conferencias, enlazado aquí . Resumiendo, la paradoja pregunta: "¿cómo puede girar este disco si se conserva el momento angular?". La respuesta profunda es que ¡el propio campo electromagnético también puede tener su propio momento angular! Anulará exactamente el momento angular del disco, ¡permitiendo que el disco gire! De hecho, puedes hacer otros experimentos mentales para identificar que el campo electromagnético también puede llevar momento, dado por el Vector de Poynting . Sin embargo, si hubiéramos podido utilizar el teorema de Noether, no habríamos tenido que ser tan ingeniosos, construyendo intrincados experimentos mentales para identificar cuáles son exactamente las expresiones para el momento angular o el momento para un campo EM. Podríamos simplemente empezar con el Lagrangiano para el sistema acoplado disco+campo EM y usar el teorema de Noether para la simetría de rotación para identificar correctamente la expresión para el momento angular total. (En realidad, esto podría ser una especie de mal ejemplo, porque hay toda esta cuestión de la " mejorado tensor de energía de tensión" para un campo EM que proviene de hacer también una transformación gauge, pero dejemos ese tecnicismo a un lado, porque no es esencial). Así que podemos ver que el teorema de Noether nos permite decir "ESTA cantidad es el momento angular de un campo EM, y ESTA cantidad es el momento angular para el disco, y su suma se conserva". En otras palabras, el teorema de Noether nos permite identificar análogo cantidades conservadas para diferentes sistemas, nos permite averiguar justificadamente cuál es la expresión para el momento angular en sistemas totalmente diferentes con Lagrangianos diferentes.

5. El teorema de Noether también nos dice cuando las cosas no es conservada (que es cuando no hay simetría). Por ejemplo, en un universo en expansión, como el tiempo no es un vector de muerte, la energía de un fotón que se desplace por el cosmos no se conservará, sino que se reducirá a medida que se alargue su longitud de onda.

6. Es bueno conocer las leyes de conservación porque si parte de una cantidad que crees que debería conservarse "desaparece", ya que podría ser arrastrada por una partícula no detectada previamente. Tomemos, por ejemplo, la desintegración beta, en la que un neutrón se desintegra en un protón, un electrón y un antineutrino. Antes de que la gente conociera los neutrinos, esto planteaba un pequeño problema. Parecía que un neutrón se desintegraba en un protón y un electrón, pero no hay forma de que el momento angular (espín) se conserve en este proceso. Fue Pauli quien dijo que tenía que haber alguna partícula que no detectáramos, un neutrino, que se llevara ese momento angular. Aunque dudo que el propio Pauli pensara en términos del teorema de Noether, ciertamente podría haberlo hecho. Mientras no se viole la simetría rotacional, sabemos con un 100% de certeza que el momento angular debe conservarse de algún modo.

7. A la inversa, si sabes que tienes alguna cantidad conservada, sabes qué simetrías debe respetar la lagrangiana. No se puede exagerar lo crucial que fue este tipo de lógica para construir el Modelo Estándar de la física de partículas, y lo crucial que es para la gente que hace modelos para más allá del Modelo Estándar. Basta con mirar las tablas de cantidades conservadas (o a veces aproximadamente conservadas) en la física de partículas. Número de leptones, número de bariones, hipercarga débil, etc. Si estás trabajando en un colisionador de partículas y puedes ver qué procesos están permitidos y cuáles no, ¿cómo conviertes eso en un Lagrangiano? Si todas tus interacciones obedecen a la conservación del número de leptones, será mejor que te asegures de que los términos de tu Lagrangiano obedecen a la simetría del número de leptones. Si observas que, raramente, el número de leptones no se conserva, ¡entonces debes poner un término en tu Lagrangiano que viole la simetría del número de leptones! (Lo bueno del teorema de Noether en mecánica cuántica es que, para compactos $U(1)$ simetrías, los únicos valores permitidos serán múltiplos discretos de algún valor mínimo, por lo que se pueden asignar valores enteros (o fraccionarios) de estas cantidades a cada partícula). De hecho, en un curso estándar sobre el Modelo Estándar, casi siempre se habla en términos de simetrías y cantidades conservadas, haciendo tablas masivas de todos los valores de todos los diferentes tipos de cargas para las diferentes partículas, y qué interacciones respetan qué leyes de conservación de carga, y de qué simetrías provienen, etc. En otras palabras, ¡las simetrías proporcionan una forma mucho mejor de clasificar todas estas partículas que el Lagrangiano!

8. El segundo teorema de Noether es posiblemente más importante que el primero. Moralmente, dice que las partículas con simetrías gauge sólo pueden acoplarse a corrientes conservadas. Esto es realmente lo mismo que el teorema del fotón/gravitón blando de Weinberg. En el caso del gravitón, por ejemplo, la simetría de difeomorfismo significa que el tensor de energía de tensión de todas las partículas con las que interactúa debe conservarse (y con todo el mismo acoplamiento $G$ ), dando una explicación a la universalidad de la fuerza gravitatoria. (Puedes leer más sobre esto en el contexto de E&M aquí .)

9. Las nuevas leyes de la física pueden no obedecer a las antiguas simetrías. Por lo tanto, buscar "simetrías aproximadas" nos ayuda a encontrar nuevas leyes que rompan las antiguas simetrías. He aquí un ejemplo de la historia. El Hiperón y el Kaón se producen copiosamente cuando los protones chocan entre sí. Sin embargo, se observó que decaían muy lentamente. Las cosas que decaen lentamente, a diferencia de las que decaen rápidamente, normalmente lo hacen porque la fuerza débil está mediando la desintegración. Gell-mann postuló entonces que esto se debía a una nueva simetría aproximada llamada "extrañeza", que se conservaba en las interacciones nucleares pero no en las débiles. Mirando hacia atrás, ahora podemos ver lo que estaba ocurriendo. La "extrañeza" se refería al número de quarks extraños presentes en cada partícula. La fuerza nuclear conserva la "extrañeza", mientras que la fuerza débil puede cambiar un quark de un sabor por otro de un sabor diferente. Esto es historia antigua. ¿Y ahora qué? Bueno, los problemas análogos, como la no conservación del número de leptones, son básicamente del mismo tipo. También podemos preguntarnos por qué hay más materia que antimateria, es decir, el problema de la bariogénesis. Otra pregunta, ¿se desintegran los protones? La lógica detrás de las simetrías "aproximadas" es que los términos que las rompen en el Lagrangiano se suprimen severamente a bajas energías, lo que significa que es muy raro verlas violadas. Así, cosas como el número de bariones o el número de leptones no son en realidad más que un "accidente de baja energía", no una simetría verdaderamente profunda de la naturaleza. En realidad, la evaporación de los agujeros negros nos da una enorme pista de que, en la gravedad cuántica, probablemente hay no simetrías aparte de las requeridas por la consistencia matemática. Esto se discute en una hermosa charla de Witten aquí . Por ejemplo, se podría crear un agujero negro utilizando principalmente bariones, pero cuando se desintegre irradiará su energía en partículas sin masa, como fotones y gravitones. Esto sugiere que una teoría final de la gravedad cuántica no tendrá ninguna de estas simetrías extrañas ("globales") como el número de bariones. Sin embargo, las simetrías necesarias para la consistencia matemática, como las simetrías gauge ("locales") y la CPT, no son violadas por la evaporación de los agujeros negros y, por tanto, por la gravedad cuántica. Nótese que la carga eléctrica, que es una simetría global como el número de bariones, es realmente conservada por la evaporación del agujero negro porque está "protegida" por el $U(1)$ simetría gauge. Todo esto es importante que lo tenga en cuenta la gente que piensa en cómo formular teorías de la gravedad cuántica.

10. Y, por último... el teorema cambia nuestra forma de pensar sobre todo. El teorema de Noether simplemente reconfigura el cerebro de un modo difícil de explicar. Creo que Emmy Noether fue quien mejor captó el impacto de su trabajo (del que este teorema era solo una pequeña parte).

Mis métodos son en realidad métodos de trabajo y de pensamiento; por eso se han colado por todas partes de forma anónima. - Emmy Noether