Polígonos no regulares inscritos y circunscritos

Question

Estoy haciendo un curso de geometría euclidiana elemental y estoy estudiando las propiedades de polígonos inscritos y circunscritos y he llegado a la siguiente pregunta:

Para qué $n$ existen polígonos $n$-gonos equiláteros NO regulares* (1) circunscritos; (2) inscritos equiángulos.

Hasta ahora, sin considerar casos degenerados, tenemos $n\ge 3$ y he logrado excluir triángulos y pentágonos y encontrar rombos para (1) y rectángulos para (2), sin embargo no puedo encontrar un procedimiento general a seguir.

Se me permite usar todos los datos geométricos elementales (como simetrías, proporciones, congruencia, y así sucesivamente) e incluso un poco de álgebra y geometría cartesiana, sin embargo preferiría una solución libre de coordenadas.

EDICIÓN: La definición de un polígono regular es un polígono que es equilátero y equiángulo, por lo tanto, un polígono no regular es un polígono que es al menos equilátero o equiángulo y no ambos. Un polígono circunscrito/inscrito es un polígono que puede ser circunscrito/inscrito por un círculo.

Answer 1

Resulta que existen si y solo si $n$ es par.

Dependiendo de tu prueba para los casos $n=3$ y $5$, es posible que hayas demostrado que el polígono debe tener ángulos alternos iguales (en el caso equilátero) o lados alternos iguales (en el caso equiángulo). Si $n$ es impar, entonces obtienes cada ángulo/lado comenzando con uno y contando cada otro ángulo/lado alrededor del círculo, lo que implica que el polígono es regular.

La conversa también es cierta, y esto te da una construcción para valores pares de $n$.

Si quieres conocer más detalles sobre el problema, echa un vistazo a este artículo.