Límite para secuencias divergentes

Question

Perdón por el título, pero me hace gracia. ¿Puedes escribir un homomorfismo (de grupos aditivos)

$\mathbb{R}^\mathbb{N} \to \mathbb{R}$ ,

que no sea trivial y cuyo núcleo contenga las secuencias finitas? Por ejemplo, en el subgrupo de secuencias convergentes, podemos tomar el límite. La cuestión no es si tal cosa existe (según el axioma de elección, $\mathbb{R}^\mathbb{N} / \mathbb{R}^{(\mathbb{N})}$ tiene una base sobre $\mathbb{R}$ etc.). Quiero escribir algo 1 para jugar con este "límite para secuencias divergentes", que podría ser útil aquí . Posiblemente todos ustedes piensen inmediatamente que esto no es posible, pero ¿por qué razón? ¿Quizá funcione de algún modo, pero sea complicado?

1 en sentido informal. No me interesa una discusión sobre lógica matemática ;-).

Answer 1

La construcción que conozco que más se acerca a responder a su pregunta es la de un Límite de Banach . Se trata de un funcional lineal acotado en el espacio de Banach $\ell^{\infty}$ de secuencias acotadas que extiende el límite de una secuencia convergente y tiene otras buenas propiedades. Dos problemas:

1) Se desea un funcional sobre el conjunto de tous secuencias. Para ello se puede tomar un límite de Banach y extenderlo linealmente, pero no de forma canónica. Esto me lleva a

2) La construcción de un límite de Banach y su extensión como arriba usan el Axioma de Elección en formas críticas, que usted parece no querer.

Sin embargo, debo decir que su deseo de "escribir algo" y su falta de voluntad para considerar las implicaciones de esa frase hacen que su búsqueda sea un tanto quijotesca. Es un principio generalmente aceptado que si se puede demostrar que una determinada proposición requiere el axioma de elección en el sentido de no ser demostrable a partir de la teoría de conjuntos ZF, entonces es inútil intentar "escribir algo" que dé una construcción. Así que creo que deberías estar interesado en lo que los algebristas de teoría de conjuntos tienen que decir sobre homomorfismos de grupos aditivos de espacios vectoriales sin asumir AC. Lo que quieres hacer puede (no digo que lo haya hecho) haber demostrado ser imposible. ¿No te gustaría saberlo?

Answer 2

Supongo que necesitas ultralímite :)

Answer 3

Desde $\mathbb{R}^\mathbb{N}$ con topología de producto es un grupo polaco y el conjunto $F$ de secuencias finitas es denso en ella, se deduce que el único homomorfismo medible Baire $\mathbb{R}^\mathbb{N} \to \mathbb{R}$ que contiene $F$ en su núcleo es el trivial. Así que "escribir" una no trivial será bastante difícil.

Ahora un poco de lógica: Es coherente con $ZF$ que todos los subconjuntos de (y, por tanto, todas las funciones entre) los espacios polacos son medibles en Baire. Por tanto, es coherente con $ZF$ que el único homomorfismo $\mathbb{R}^\mathbb{N} \to \mathbb{R}$ que contiene $F$ en su núcleo es el trivial. Esto significa que el uso de (al menos parte de) el axioma de elección es inevitable.