Tamaño de $\mathrm{Gal}(\mathbb{Q}(\cos(2\pi/7))/\mathbb{Q})$

Question

Mi objetivo es demostrar que $|\mathrm{Gal}(\mathbb{Q}(\cos(2\pi/7))/\mathbb{Q})|=3$ . Hasta ahora, he podido demostrar que el grado de extensión del campo $\mathbb{Q}(\cos(2\pi/7))/\mathbb{Q}$ est $3$ utilizando ese $\mathbb{Q}(e^{2\pi/7})/\mathbb{Q}(\cos(2\pi/7))$ tiene grado 2 y $\mathbb{Q}(e^{2\pi/7})/\mathbb{Q}$ tiene grado 6. No sé cómo proceder a partir de aquí. La forma estándar que conozco es encontrar el polinomio mínimo de $\cos(2\pi/7)$ sobre los racionales y presentando el grupo de Galois de la extensión como un grupo de permutaciones de las raíces de dicho polinomio contenidas en $\mathbb{Q}(\cos(2\pi/7))$ . Si pudiera demostrar de algún modo que todas esas raíces están contenidas en $\mathbb{Q}(\cos(2\pi/7))$ sería suficiente pero me gustaría evitar tener que calcular el polinomio mínimo. Gracias de antemano.

Answer 1

La respuesta está casi contenida en las respuestas de esta pregunta Grupo de Galois de $x^3 + x^2 - 2x - 1$ .

La segunda respuesta muestra que el polinomio mínimo de $\cos({{2\pi}\over 7})$ est $x^3-x^2-2x-1$ y la primera y segunda respuesta muestran que el grupo de Galois de este polinomio tiene orden $3$ .