¿Es el grupo de unidades de un anillo polinómico el único polinomio constante que interviene en R

Question

Sea R un dominio integral(o tal vez campo)

edición : Sea R un campo. El grupo de unidades de R[x] es $$ a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + a_{n-2} x^{n-2} + \cdots+ a_2 x^2 + a_1 x + a_0 $$ (o infinito) tal que $$ a_0 R^* $$

Algunos dicen que el grupo unitario de R[x] es el grupo unitario de R.

Lo que me confunde es que la segunda frase parece mostrar su unidad es polinomio constante sólo que está involucrado en el grupo unitario de R y la primera es todo el polinomio pero la constante es grupo unitario de R.

¿Cuál es correcta y cuál me he perdido?

Gracias.

Answer 1

Lo siguiente es cierto:

$$R^\times=(R[X])^\times$$

Prueba:

Sea $a\in R^\times\subseteq R$ . Entonces la inversa de $a\in R$ no es más que la inversa de $a$ en $R[X]$ .

Por el contrario, si $f\in (R[X])^\times$ con la inversa $f^{-1}$ puis

$$0=deg(1)=deg(f\cdot f^{-1})=deg(f)+deg(f^{-1})\tag{1}$$

Por lo tanto $deg(f)=deg(f^{-1})=0$ . Así $f$ et $f^{-1}$ son elementos invertibles de $R$

Nota: La tercera igualdad se cumple si y sólo si $R$ es un dominio integral.