convolución de sumas

Question

Tengo que encontrar una serie infinita de potencias $B(x)$ de acuerdo con una serie de potencias infinitas ya dada $A(x)$ para que $B(x)A(x) = 1$

$A(x)$ se define del siguiente modo: $$1 + \sum_{n \ge 1 } a_n Z^n$$ si se tiene en cuenta la $0$ . término como 1 entonces $$a_0Z^0 + \sum_{n \ge 1 } a_n Z^n = \sum_{n \ge 0 } a_n Z^n$$

hasta ahora he intentado definir $B(x)$ como $$B(x) := \sum_{n \ge 0 } b_n Z^n$$ con estas limitaciones: $b_0 = 1 ; b_1= -1; b_i = 0$ para cada $i > 1$

mediante la convolución de sumas $$\sum_{n \ge 0}^{} (\sum_{k=0}^{n} a_k b_{n-k})$$ Podría anular muchos términos, pero no el problema es que también anule el primero y el segundo $1$ avec $-1$

$$a_0b_0 + (a_0b_1 + a_1b_0) + (a_0b_2 + a_1b_1 + a_2b_0) + ... = 1 + (-1 +a_1) + (0 + -a_1+a_2) + ...$$

como se puede ver cada último término se está cancelando con el término antes de la última en los siguientes paréntesis, pero los dos primeros se cancelan entre sí también. ¿Cómo se puede hacer en este método para que se ajuste sin embargo?

Gracias por su ayuda

Answer 1

Intentar adivinar el $b_n$ coeficientes de esa manera no funcionará. Sin embargo, hay un truco útil en problemas como éste. Ponga $$C(z): = \sum_{n=1}^\infty a_nz^n,$$ así que $A(z) = 1+C(z)$ . En una vecindad suficientemente pequeña de $0$ podemos suponer $|C(z)|<1$ por lo que por convergencia uniforme de las series geométricas $$\frac{1}{A(z)} = \frac{1}{1+C(z)} = \frac{1}{1-(-C(z))} = \sum_{j=0}^\infty (-1)^j(C(z))^j.$$ En otras palabras, $$B(z) = 1-\bigg(\sum_{n=1}^\infty a_nz^n\bigg)+\bigg(\sum_{n=1}^\infty a_nz^n\bigg)^2-\bigg(\sum_{n=1}^\infty a_nz^n\bigg)^3+\dotsm.$$ Escribir una fórmula explícita para los coeficientes sería bastante tedioso, pero tenga en cuenta que $z^k$ sólo aparece en el primer $k+1$ sumandos por la forma en que aumentan los poderes. Tenemos $b_0=1$ y para $k\geq 1$ tenemos $$b_k = -a_k+(C^2)_k-(C^3)_k+\dotsm+(-1)^k(C^k)_k$$ donde $(C^j)_k$ es la suma de todos los términos $a_{i_1}\dotsm a_{i_j}$ donde $i_r\geq 1$ et $i_1+\dotsm+i_j = k$ .

Answer 2

Podemos utilizar cómodamente la fórmula de convolución para calcular los coeficientes $b_n, n\geq 0$ . La situación es la siguiente $$\begin{align*} B(x)A(x)&=\left(\sum_{k=0}^\infty a_k x^k\right)\left(\sum_{j=0}^\infty b_j x^j\right)\\ &=\sum_{n=0}^\infty\left(\color{blue}{\sum_{k=0}^n a_kb_{n-k}}\right)x^n=1 \end{align*}$$

Utilización de la coeficiente de operador $[x^n]$ para denotar el coeficiente de $x^n$ de una serie tenemos $$\begin{align*} [x^0]B(x)A(x)&=a_0b_0=1\tag{1}\\ [x^n]B(x)A(x)&=\sum_{k=0}^na_kb_{n-k}=0\qquad n\geq 1\tag{2} \end{align*}$$

De (1) derivamos con $a_0=1$ : $$\begin{align*} [x^0]B(x)A(x)&=a_0b_0=\color{blue}{b_0=1} \end{align*}$$ De (2) se deduce $$\begin{align*} [x^n]B(x)A(x)&=\sum_{k=0}^n a_kb_{n-k}=a_0b_n+\sum_{k=1}^{n} a_kb_{n-k}=0\tag{3} \end{align*}$$ Con $a_0=1$ obtenemos de (3) para $n\geq 1$

$$\begin{align*} \color{blue}{b_n}&\color{blue}{=-\sum_{k=1}^n a_kb_{n-k}}\\ \\ \color{blue}{b_1}&=-\sum_{k=1}^1 a_kb_{1-k}=-a_1b_0=\color{blue}{-a_1}\\ \color{blue}{b_2}&=-\sum_{k=1}^2 a_kb_{2-k}=-a_1b_1-a_2b_0\color{blue}{=a_1^2-a_2}\\ &\cdots \end{align*}$$