Pruebas $F(t,X)=AX$ es Lipschitz en $X$ : Desigualdades con matrices.

Question

Teorema

Sea $I\subseteq \Bbb R$ sea un conjunto cerrado y acotado. Sea $A(t)$ ser un $n\times n$ matriz continua en $I$ .

Sea $X$ ser un $n$ -vector. Sea $F(t,X)=A(t)X$ .

Entonces $F$ es Lipschitz en la variable $X$ .

Prueba

W $$||AX-AY||^2=||A(X-Y)||^2=\sum_{i=1}^n\left(\sum_{j=1}^n a_{ij}(x_j-y_j)\right)^2\\ \leq C_n\sum_{i,j=1}^n|a_{ij}|^2(x_j-y_j)^2\leq C_nK^2n||X-Y||^2$$

Dónde $K>|a_{ij}(t)|\, \forall\, t\in I$ . Tal $K$ existe por el teorema del valor extremo.

Sea $L^2=C_nK^2n$ y obtenemos que $||F(t,X)-F(t,Y)||=||AX-AY||\leq L||X-Y||$ . QED.

No entiendo las desigualdades primera y segunda: ¿Qué es $C_n$ ? ¿Qué permite cambiar la primera suma por la que sigue a la desigualdad? Tampoco entiendo cómo el autor obtuvo la segunda...

Answer 1

Veamos $$\sum_{i=1}^n\left(\sum_{j=1}^n a_{ij}(x_j-y_j)\right)^2$$ Denote $a_{ij} (x_j - y_j)$ por $u_j$ . Denotemos el vector de coordenadas $u_j$ por $u$ . Consideremos un vector con todas las coordenadas unitarias, denotado por $p$ . Entonces la suma más interna es un producto punto $(p \cdot u)$ por lo que es limitado por el producto de normas : $$\left(\sum_{j=1}^n a_{ij}(x_j-y_j)\right)^2 = \left(p \cdot u\right)^2 \le \|p\|^2 \|u\|^2 = \|p\|^2 \left(\sum_{j=1}^n u_j^2\right) = n \sum_{j=1}^n a_{ij}^2 (x_j-y_j)^2$$ Así que $C_n$ es simplemente el cuadrado de la norma del vector $p$ con coordenadas unitarias, lo que equivale a $n$ .

En cuanto a la segunda desigualdad, el autor simplemente ha acotado todos los elementos de la matriz $a_{ij}$ por alguna constante $K$ : $$\sum_{i=1}^n \left( n \sum_{j=1}^n a_{ij}^2 (x_j-y_j)^2 \right) = C_n \sum_{i,j=1}^n |a_{ij}|^2 (x_j-y_j)^2 \leq C_n \sum_{i,j=1}^n K^2 (x_j-y_j)^2 = \\ C_n K^2 \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n (x_j-y_j)^2 = C_n K^2 n \sum_{j=1}^n (x_j-y_j)^2 = C_n K^2 n \|X-Y\|^2 = n^2 K^2 \|X-Y\|^2$$