¿Cómo hallar la base de la intersección de 2 espacios vectoriales con una base dada?

Question

Supongamos que tenemos espacios vectoriales $\mathbb W$ y $\mathbb V$ .

Una base determinada para $\mathbb W$ es $\{(1, 1, 0, -1), (0, 1, 3, 1)\}$ , y una base dada para $\mathbb V$ es $\{(1, 2, 2, -2), (0, 1, 2, -1)\}$ .

Cómo encontrar una base para $\mathbb W\cap\mathbb V$ ?

Answer 1

Tome cualquier $\vec x\in\Bbb V\cap\Bbb W.$ Desde $\vec x\in\Bbb V,$ entonces existen escalares únicos $\alpha,\beta$ tal que $$\vec x=(\alpha,2\alpha+\beta,2\alpha+2\beta,-2\alpha-\beta).\tag{$ \clubsuit $}$$ Del mismo modo, $\vec x\in\Bbb W,$ por lo que existen escalares únicos $\gamma,\delta$ tal que $$\vec x=(\gamma,\gamma+\delta,3\delta,-\gamma+\delta).\tag{$ \diamondsuit $}$$ Por $(\clubsuit)$ y $(\diamondsuit),$ tenemos $$\begin{align}\vec 0 &= \vec x-\vec x\\ &= (\alpha-\gamma,2\alpha+\beta-\gamma-\delta,2\alpha+2\beta-3\delta,-2\alpha-\beta+\gamma-\delta).\end{align}\tag{$\heartsuit$}$$ Desde $0=\alpha-\gamma$ (¿por qué?) entonces $\gamma=\alpha,$ por lo que sustituir $\gamma$ con $\alpha$ en $(\heartsuit)$ nos da $$\begin{align}\vec 0 &= (\alpha-\alpha,2\alpha+\beta-\alpha-\delta,2\alpha+2\beta-3\delta,-2\alpha-\beta+\alpha-\delta)\\ &= (0,\alpha+\beta-\delta,2\alpha+2\beta-3\delta,-\alpha-\beta-\delta).\end{align}\tag{$\spadesuit$}$$ Desde $0=\alpha+\beta-\delta$ (¿por qué?), entonces $\delta=\alpha+\beta,$ por lo que sustituir $\delta$ con $\alpha+\beta$ en $(\spadesuit)$ nos da $$\begin{align}\vec 0 &= \bigl(0,\alpha+\beta-[\alpha+\beta],2\alpha+2\beta-3[\alpha+\beta],-\alpha-\beta-[\alpha+\beta]\bigr)\\ &= (0,0,-\alpha-\beta,-2\alpha-2\beta).\end{align}\tag{$*$}$$ Desde $0=-\alpha-\beta$ (¿por qué?), entonces $\beta=-\alpha,$ y así sustituir $\beta$ con $-\alpha$ en $(\clubsuit),$ tenemos $$\begin{align}\vec x &= \bigl(\alpha,2\alpha+[-\alpha],2\alpha+2[-\alpha],-2\alpha-[-\alpha]\bigr)\\ &= (\alpha,\alpha,0,-\alpha).\end{align}$$

Por lo tanto, cada vector de $\Bbb V\cap\Bbb W$ es un múltiplo escalar de $(1,1,0,-1).$

Por otra parte, todo múltiplo escalar de $(1,1,0,-1)$ se encuentra inmediatamente en $\Bbb W$ desde $(1,1,0,-1)$ y observando que $(1,1,0,-1)=(1,2,2,-2)-(0,1,2,-1)$ entonces $(1,1,0,-1)$ está en $\Bbb V$ por lo que todo múltiplo escalar de $(1,1,0,-1)$ está en $\Bbb V.$ Así, cada múltiplo escalar de $(1,1,0,-1)$ es un vector en $\Bbb V\cap\Bbb W.$

Por doble inclusión, $\Bbb V\cap\Bbb W$ es precisamente el conjunto de múltiplos escalares de $(1,1,0,-1),$ y por lo tanto una base conveniente para $\Bbb V\cap\Bbb W$ sería $$\bigl\{(1,1,0,-1)\bigr\}.$$

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Permítanme resumir aquí la idea general para que puedan aplicarla en otros casos. Supongamos que tenemos espacios $\Bbb V$ y $\Bbb W$ de dimensión $m$ y $n,$ respectivamente, supongamos que $m\leq n$ sin pérdida de generalidad--con bases dadas $\{\vec v_1,...,\vec v_m\}$ y $\{\vec w_1,...,\vec w_n\}$ (respectivamente).

$\Bbb V\cap\Bbb W$ es necesariamente un subespacio de $\Bbb V$ y de $\Bbb W.$ La idea, entonces, es empezar con un vector general $\vec x$ en $\Bbb V\cap\Bbb W,$ entonces escríbalo como un vector general en $\Bbb V$ y como vector general en $\Bbb W$ --que es escribir $$\vec x=\alpha_1\vec v_1+\cdots\alpha_m\vec v_m\quad\text{ and }\quad \vec x=\beta_1\vec w_1+\cdots+\beta_n\vec w_n$$ para algún escalar único $\alpha_i$ s y $\beta_j$ s.

Ahora bien, puesto que $\Bbb V\cap\Bbb W$ es un subespacio de $\Bbb V$ tiene una dimensión de como máximo $m$ por lo que podremos eliminar la mayoría de los escalares configurando $$\vec0=\left(\alpha_1\vec v_1+\cdots\alpha_m\vec v_m\right)-\left(\beta_1\vec w_1+\cdots+\beta_n\vec w_n\right),\tag{#}$$ y luego volver a sustituir repetidamente como en el caso anterior. En particular, podremos eliminar todos de la $\beta_j$ s (ya que asumimos $m\leq n$ ), y una vez que lo hayamos hecho, querremos eliminar el mayor número de $\alpha_i$ s como sea posible.

En algún momento, si seguimos sustituyendo en la cadena de ecuaciones vectoriales que empezó con $(\#)$ entonces mayo terminan con la ecuación $\vec 0=\vec 0$ . Por ejemplo, si hubiéramos sustituido $\beta=-\alpha$ en $(*)$ arriba, eso es lo que tendríamos. Si eso ocurre, sabremos que hemos reducido todo lo que podíamos, y querremos utilizar las relaciones que hemos determinado entre las diversas $\alpha_i$ s en el camino para reescribir $x$ en términos de $\alpha_i$ s como sea posible - eso es lo que hicimos arriba cuando subbed de nuevo en $(\clubsuit)$ --y eso mostrará que cada vector en $\Bbb V\cap\Bbb W$ puede escribirse como una combinación lineal de algunos vectores, que deben constituir la base de $\Bbb V\cap\Bbb W$ . (Vale la pena comprobarlo, por supuesto.) Considere los espacios $\Bbb V$ y $\Bbb W$ con sus respectivas bases $$\{(1,0,0,0),(1,2,2,-2),(0,1,2,-1)\}$$ y $$\{(0,1,0,-1),(1,1,0,-1),(0,1,3,1)\}$$ para un ejemplo en el que todavía tenemos más de un $\alpha_i$ que queda al final, y ver si puedes elegir los vectores de base apropiados en ese caso.

Ahora puede ser que acabemos descubriendo que todos los $\alpha_i$ s son $0$ . En ese caso, $\Bbb V\cap\Bbb W=\{\vec 0\}$ y la base es el conjunto vacío. Consideremos, por ejemplo, los espacios $\Bbb V$ y $\Bbb W$ con sus respectivas bases $\{(1,1)\}$ y $\{(1,-1)\}$ para ver cómo puede ocurrir.

Answer 2

$\mathbb W \cap \mathbb V$ es $\mathbb W (=\mathbb V)$ una línea que es común a los dos, o sólo el origen. Si los dos espacios son iguales, puedes expresar los vectores base de uno en términos de los vectores del otro. Escribimos $(1,1,0,-1)=a(1,2,2,-2)+b(0,1,2,-1)$ y luego por el otro. Si puede encontrar $a$ y $b$ los espacios son los mismos y cualquiera de las bases que tienes funcionará. Si no, intenta encontrar un vector en la intersección escribiendo $c(1,1,0,-1)+d(0,1,3,1)=a(1,2,2,-2)+b(0,1,2,-1)$ y ver si puedes encontrar una solución. Si es así, el vector que es la solución es una base. Si no, la intersección es sólo el origen, que no tiene base.