Hallar el valor de la integral $\int_{0}^{\frac{\pi}{12}}\frac{\tan^2x-3}{3\tan^2x-1}dx$

Question

Hallar el valor de la integral $\int_{0}^{\frac{\pi}{12}}\frac{\tan^2x-3}{3\tan^2x-1}dx$

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$\int_{0}^{\frac{\pi}{12}}\frac{\tan^2x-3}{3\tan^2x-1}dx$
$=\int_{0}^{\frac{\pi}{12}}\frac{1}{3}\frac{\tan^2x-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-3}{\tan^2x-\frac{1}{3}}dx$
$=\frac{1}{3}-\frac{8}{9}\int_{0}^{\frac{\pi}{12}}\frac{dx}{\tan^2x-\frac{1}{3}}dx$

$=\frac{1}{3}-\frac{8}{9}\int_{0}^{\frac{\pi}{12}}\frac{\cot^2x dx}{1-\frac{1}{3}\cot^2x}dx$
$=\frac{1}{3}-\frac{8}{9}\int_{0}^{\frac{\pi}{12}}\frac{\cot^2x dx}{\frac{4}{3}-\frac{1}{3}\csc^2x}dx$
Estoy atascado aquí y no podía resolver further.Please ayudarme.

Answer 1

$$u=\tan(x)$$

$$du=(\tan^2x+1) dx$$

$$\int_{0}^{\frac{\pi}{12}}\frac{\tan^2x-3}{3\tan^2x-1}dx=\int_{0}^{\tan\frac{\pi}{12}}\frac{u^2-3}{(3u^2-1)(u^2+1)}du$$ $$=\int_{0}^{\tan\frac{\pi}{12}}(\frac1{u^2+1}-\frac2{3u^2-1})du$$ $$=\int_{0}^{\tan\frac{\pi}{12}}(\frac1{u^2+1}+\frac{\sqrt3}{3u+\sqrt3}-\frac{\sqrt3}{3u-\sqrt3})du$$ $$=(\tan^{-1}u+\frac{\sqrt3}3\ln |\frac{1}{3u+\sqrt3}|-\frac{\sqrt3}3\ln |\frac{1}{3u-\sqrt3}|)|_0^{\tan\frac{\pi}{12}}$$ $$=(\tan^{-1}u+\frac{\sqrt3}3\ln |\frac{1}{3u+\sqrt3}|-\frac{\sqrt3}3\ln |\frac{1}{3u-\sqrt3}|)|_0^{\tan\frac{\pi}{12}}$$ $$=\tan^{-1}\tan\frac{\pi}{12}-\frac{\sqrt3}{3}\ln \frac{\sqrt3-3\tan\frac{\pi}{12}}{\sqrt3+3\tan\frac{\pi}{12}}$$ $$=\frac{\pi}{12}-\frac{\sqrt3}{3}\ln \frac{\sqrt3-3\tan\frac{\pi}{12}}{\sqrt3+3\tan\frac{\pi}{12}}$$ $$\approx 0.8420667415917798898282846513866$$

Fíjate en que distintos métodos de resolución conducen al mismo resultado, pero quizá con formatos diferentes. Deben ser numéricamente iguales. Por ejemplo $\frac1{12}(\pi - 8 \sqrt3 \tanh^{-1}(3 - 2 \sqrt3))$ parece diferente, pero en realidad es igual a la respuesta obtenida anteriormente.

Answer 2

CONSEJO: convierte tu integrando en $\frac{4\cos(x)^2-1}{4\cos(x)^2-3}$ y utilizar las fórmulas tan-medio ángulo el resultado debería ser $$2/3\,\sqrt {3}{\rm arctanh} \left(\cot \left( {\frac {5\,\pi }{12}} \right) \sqrt {3}\right)+\pi /12 $$