Número de raíces de $\lfloor\frac x3\rfloor=\frac x2$

Question

¿Cuántas raíces tiene la ecuación $$\left\lfloor\frac x3\right\rfloor=\frac x2$$ ¿Tener?

1. $1$
2. $2$
3. $3$
4. infinitamente muchos

He comprobado que $x=0$ y $x=-2$ son las respuestas, así que creo que la respuesta es $(2)$ . pero no sé cómo resolver el problema en general.

Answer 1

pista

Ponga $ x=3X$ . la ecuación se convierte en $$\lfloor X\rfloor =\frac 32 X$$

que da

$$X-\lfloor X\rfloor =-\frac X2\in[0,1)$$

Por lo tanto, hay tres casos $1) X\in(-2,-1) \implies$

$$ X=\frac{-4}{3}\implies x=-4$$

$2) X\in[-1,0)\implies $

$$X=\frac{-2}{3}\implies x=-2$$

$3) X=0=x$ .

En conclusión, tiene tres raíces.

Answer 2

En primer lugar, observe que $$\color{blue}{\frac x3 } \ge \left\lfloor\frac x3\right\rfloor=\color{blue}{\frac x2} \implies x \le 0 \\ \color{blue}{\frac x3 - 1} \le \left\lfloor\frac x3\right\rfloor=\color{blue}{\frac x2} \implies x \ge -6$$ Ahora, a partir de la ecuación, observe que $x/2$ es un número entero, lo que significa que $x$ es un número par. Por lo tanto, los candidatos son $x \in \{-6, -4,-2,0\}$ .
Comprobando estos cuatro valores obtenemos $x = -4$ o $x = -2$ o $x = 0$ .

Por lo tanto, la ecuación tiene $3$ raíces.

Answer 3

$$\left\lfloor \frac{x}{3} \right\rfloor = \frac{x}{2}$$

Sugerencia Desde $\left\lfloor \frac{x}{3} \right\rfloor$ es un número entero, cualquier solución $x$ debe ser múltiplo de $2$ . Ahora, para $x > 0$ tenemos $$\left\lfloor \frac{x}{3} \right\rfloor \leq \frac{x}{3} < \frac{x}{2} ,$$ y para $x \leq -6$ tenemos $$\left\lfloor \frac{x}{3} \right\rfloor > \frac{x}{3} - 1 \geq \frac{x}{2} ,$$ dejando sólo unas pocas posibilidades para comprobar manualmente.