Demuéstralo: Si $p$ es un primo y $p>2$ entonces $p | [(2+\sqrt{5})^p]-2^{p+1}$

Question

Demuéstralo: Si $p$ es un primo y $p>2$ entonces $p | [(2+\sqrt{5})^p]-2^{p+1}$

Answer 1

He aquí una hoja de ruta:

• $(2+\sqrt{5})^n+(2-\sqrt{5})^n$ es un número entero porque los términos con $\sqrt 5$ cancelar

• $\left|2-\sqrt{5}\right|<1$ y así $(2-\sqrt{5})^n \to 0$

• $(2+\sqrt{5})^n+(2-\sqrt{5})^n = \lfloor (2+\sqrt{5})^n \rfloor$ cuando $n$ es impar

• En $n$ es un primo, $n$ divide $n \choose k$ para $0 < k < n$ .