Estoy tratando de demostrar que $\mathbb Q$ es homeomorfo a un subespacio de $\mathbb N^{\mathbb N}$ .
Más concretamente $\mathbb Q$ es homeomorfo al espacio de secuencias $S$ de soporte finito sobre $\mathbb N$ .
En realidad he estado leyendo una prueba de la caracterización topológica de Sierpinski de los números racionales, a saber, todo espacio métrico contable $\left<X,d\right>$ sin puntos aislados es homeomorfo a $\mathbb Q$ de un artículo de Krzysztof Chris Ciesielski. Aquí el autor ha dado un homeomorfismo entre $X$ y $S$ . Intento encontrar un homeomorfismo entre $\mathbb Q$ y $S$ . Entonces tenemos $X$ es homeomorfo a $\mathbb Q$ .
Esta es mi idea: podemos definir una métrica en $\mathbb N^{\mathbb N}$ de modo que cuando se restringe al subespacio $S$ da la métrica en $S$ .
Así que primero topologizamos $\mathbb N^{\mathbb N}$ definiendo una métrica sobre ella.
Identificamos cada secuencia $\left<\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\ldots\right>$ con el único número real : $\alpha_1+\dfrac1{\alpha_2+\dfrac1{\alpha_3+\dfrac1{\ddots}}}\tag*{(*)}$
Y luego damos una métrica sobre $\mathbb N^{\mathbb N}$ como :
$$\text{distance of }\left<a_1,a_2,a_3,\ldots,\ldots\right>, \left<b_1,b_2,b_3,\ldots\ldots\right>=\text{usual distance between the real numbers arose by the identification }(*)$$
Ahora cada número racional se puede escribir en su forma de fracción simple-continua terminada, y podemos tomar esta representación de los números racionales como única.
Luego identifico cada secuencia $\left<\alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_k,0,0,\ldots\right>$ en $S$ con un único número racional como :
$$\alpha_1+\dfrac1{\alpha_2+\dfrac1{\alpha_3+\dfrac1{\ddots+\alpha_{n-1}+\dfrac1{\alpha_n}}}}\tag*{(**)}$$
Así que si damos una métrica a $S$ :
$$\text{distance of }\left<a_1,a_2,\ldots,a_m,0,0,\ldots\right>, \left<b_1,b_2,\ldots,b_n,0,0,\ldots\right>=\text{usual distance of the rational numbers arose by the identification }(**)$$
Así que esto es una isometría y por lo tanto es un homeomorfismo.
Me gustaría saber si mi idea es correcta y, si no lo es, cuál es la forma correcta de plantearse este problema.
Y también me gustaría saber si existen otros homeomorfismos explícitos entre $S$ y $\mathbb Q$ .
