Separar el hamiltoniano de una superred: ¿es así de fácil?

Question

Me he estado dando cabezazos contra la pared tratando de resolver lo que estoy seguro es un problema muy simple. Quiero resolver el modelo de Kronig Penney para una superred, que es sólo un potencial 1D periódica normal, excepto los pozos potenciales se extienden en todo el espacio en las direcciones perpendiculares a la perodicidad, así:

Sé cómo resolver un modelo KP 1D normal. Al extenderlo a 3D, la función de onda es ahora $\psi(r,z) = \psi(z) \psi(r)$ donde $r = \{x,y\}$ . En las direcciones x e y, las funciones de onda son simplemente ondas planas, por lo que se puede escribir $\psi (r) = A e^{i\vec k \cdot \vec r}+B e^{-i\vec k \cdot \vec r}$ Entonces, el Hamiltoniano aplicado a la función de onda da:

$$\frac{-\hbar^2}{2m}[\frac{\partial^2}{\partial x^2}+\frac{\partial^2}{\partial x^2}+\frac{\partial ^2}{\partial z^2}]\psi(z) \psi(r) + V(z)\psi(z) \psi(r) = E\psi(z) \psi(r)$$

y

$$\frac{\hbar^2 k_\parallel^2}{2m}\psi(z) \psi(r) + \psi(r)\frac{-\hbar^2}{2m}\frac{\partial ^2}{\partial z^2}\psi(z) + V(z)\psi(z) \psi(r)= E\psi(z) \psi(r)$$

(donde $k_\parallel = \{k_x,x_y\}$ .)

Pero ahora, ¿es realmente tan sencillo dividirlo todo por $\psi(r)$ y restar los términos de energía cinética paralelos, y definir una nueva $z$ ¿energía?

$$\frac{-\hbar^2}{2m}\frac{\partial ^2}{\partial z^2}\psi(z) + V(z)\psi(z)= (E-\frac{\hbar^2 k_\parallel^2}{2m})\psi(z) = E_z \psi(z)$$

Se trata simplemente del viejo problema del modelo KP, pero con una energía que tiene dos parámetros. Así que para un electrón que viaja en un ángulo lejos de la normal, una vez que especifique que el ángulo, es sólo el problema 1D de nuevo. ¿Es así de sencillo o me estoy perdiendo algo?

Gracias.

Answer 1

Todavía no tengo la reputación suficiente para comentar, así que aquí va una respuesta a medias - comentario a medias...

En efecto, es posible separar el problema, como usted dice, en $\psi(x,y,z) = \chi(x,y)\zeta(z)$ y la energía total del estado es entonces \begin{equation} E = E_z + \frac{\hbar^2 k_{\parallel}^2}{2m^*_{\parallel}} \end{equation}

Siga leyendo si sería como para hacer el problema un poco más difícil de resolver... :-p

Dado que tu diagrama se refiere a una heteroestructura semiconductora, necesitas utilizar la masa efectiva de la banda de energía apropiada en lugar de la masa del electrón libre. Además, si quieres que tu modelo sea preciso, debes tener en cuenta el gran desajuste en la masa efectiva entre GaAs y AlAs. En otras palabras, la masa efectiva es una función de $z$ y se puede denotar $m^*(z)$ . Esto debe tenerse en cuenta en primer lugar cuando se encuentra $E_z$ y $\psi_z(z)$ utilizando una solución adecuada del modelo de Kronig-Penney. Véase, por ejemplo, P. Harrison, "Quantum Wells, Wires and Dots" 3rd Ed., Wiley (2009) si su modelo aún no tiene en cuenta este efecto.

A continuación, hay que encontrar una masa efectiva adecuada en el plano que tenga en cuenta la variación espacial de $m^*(z)$ . Un enfoque razonable sería tomar el valor esperado de la masa efectiva en la dirección de crecimiento... esto, entonces depende de qué $\psi_z(z)$ en que se basa su dispersión en el plano: \begin{equation} \frac{1}{m^*_{\parallel}(E_z)} = \left\langle\psi_z\right|1/m^*(z)\left|\psi_z\right\rangle \end{equation}

Por lo tanto, la solución completa sería (i) encontrar el $z$ -(ii) calcular el valor esperado de la masa efectiva (iii) utilizarlo para calcular el valor esperado de la masa efectiva. $r$ -componente.

Si quiere complicar aún más las cosas, tenga en cuenta que las bandas de energía de un semiconductor no son parabólicas y, por tanto, la masa efectiva será función tanto de la energía como de $z$ -posición. Esto convierte la ecuación de Schroedinger en un problema de valores propios no lineal, que sería aún más difícil de resolver... No sé si existe una solución analítica en ese caso.