Definibilidad en HOD

Question

Sea $\mathfrak{M}$ sea un modelo contable transitivo de la teoría de conjuntos, y considere HOD (los elementos definibles hereditariamente ordinales de $\mathfrak{M}$ ).

Sea $x$ ser un objeto $x \in HOD$ . Así que $x$ es hereditariamente definible a partir de ordinales.

¿Podemos encontrar una fórmula definitoria $\psi(x)$ de $x$ tal que $\psi(x)$ contienen sólo cuantificadores que abarcan los ordinales?

PS: por "rango sobre ordinales" me refiero a un cuantificador $Qy$ donde tenemos la restricción $Qy$ ( $y$ es un ordinal ...) o que $Qy \in \alpha$ donde $\alpha$ es un ordinal.

Edición: Tras el comentario de Emil, voy a permitir la cuantificación sobre elementos $y$ tal que $y \in x$ . La razón de este cambio es que en la aplicación que tengo en mente podemos permitir esto. Y, sí, podemos permitir también cuantificadores acotados arbitrarios.

Answer 1

La respuesta es no, no necesariamente. La razón principal es que si $\varphi(x,\vec\alpha)$ es una fórmula todos cuyos cuantificadores abarcan sólo ordinales o están acotados, con parámetros ordinales $\vec\alpha$ entonces la verdad de $\varphi(x,\vec\alpha)$ es invariante bajo extensiones $V\subset W$ con los mismos ordinales y sin nuevos elementos de conjuntos en $V$ ya que la interpretación del significado de la fórmula no cambia. En particular, la interpretación de $\varphi$ no cambia por forzamiento.

Considere el siguiente ejemplo. Comience en $L$ y añada un Cohen real $L[c]$ y la fuerza para hacerlo realidad $c$ definible en una extensión forzosa $L[c][G]$ forzando a codificar sus dígitos en el patrón GCH del $\aleph_n$ por ejemplo. Así que $c$ está en $\text{HOD}^{L[c][G]}$ pero forzando aún más, podemos colapsar los cardinales a $L[c][G][H]$ donde $\text{HOD}=L$ de nuevo. Supongamos que existiera una bonita fórmula $\varphi$ definición de $c$ en $L[c][G]$ . De ello se deduce que $\varphi(c)$ también se mantiene en $L[c][G][H]$ . Pero en este caso, hay alguna condición que lo fuerza, y esta condición especifica sólo finitamente mucho de $c$ . Dado que el forzamiento global es débilmente homogéneo, podemos encontrar una imagen automórfica $d\in L[c]$ de $c$ que también contiene la parte finita de $c$ y así $\varphi(d)$ también se mantendrá en $L[c][G][H]$ y, por tanto, también en $L[c][G]$ . Esto contradice $c$ se definió mediante $\varphi$ en $L[c][G]$ .