Cómo integrar $\int_{0}^{\pi}\ln (1+\cos x)\, dx$

Question

El problema:

ps

Lo que intenté fue el uso de fórmulas de límite estándar como cambiar$$\int_{0}^{\pi}\ln (1+\cos x)\,dx.$ a$x$ y también tratado por las partes en él sin ningún resultado. Por favor ayuda. También esta es mi primera pregunta así que por favor saber si estoy equivocado en alguna parte.

Answer 1

$$\begin{eqnarray*}\int_{0}^{\pi}\log(1+\cos x)\,dx &=& \int_{0}^{\pi/2}\log(1+\cos x)\,dx+\int_{0}^{\pi/2}\log(1+\cos(\pi-x))\,dx\\ &=& \int_{0}^{\pi/2}\log(\sin^2 x)\,dx=\int_{0}^{\pi}\log(\sin x)\,dx \tag{1}\end{eqnarray*}$ $ Y por una identidad notable: $$ \prod_{k=1}^{n-1}\sin\frac{k\pi}{n} = \frac{2n}{2^n},\tag{2}$ $ por lo tanto el RHS de $(1)$ puede ser computado como la suma de Riemann: $$ \int_{0}^{\pi}\log(\sin x)\,dx = \lim_{n\to +\infty}\frac{\pi}{n}\sum_{k=1}^{n-1}\log\sin\frac{\pi k}{n}=\color{red}{-\pi \log 2}.\tag{3}$ $ allí es también una prueba bien conocida a través de la simetría: % $ $$ \begin{eqnarray*}I=\int_{0}^{\pi}\log(\sin x)&=&2\int_{0}^{\pi/2}\log(\sin(2t))\,dt=2\int_{0}^{\pi/2}\log(2\sin t\cos t)\,dt\\&=&\pi\log 2+2\int_{0}^{\pi/2}\log(\sin t)\,dt+2\int_{0}^{\pi/2}\log(\cos t)\,dt\\&=&\pi \log 2 + 2I\tag{4}\end{eqnarray*}$de que $I=-\pi\log 2$ sigue inmediatamente.

Answer 2

Otra forma de resolver es usar la Cauchy Integral Formula $$ f(z)=\frac{1}{2\pi i}\int_{D}\frac{f(\xi)}{\xi-z}d\xi$ $ donde $f(z)$ es analítica en $D$ y continuo en $\bar{D}$. Tenga en cuenta que %#% $ #% tan\begin{eqnarray} &&\int_{0}^\pi\log(1+\cos t)\; dt\\ &=&\frac12\int_{0}^{2\pi}\log(1+\cos t)\; dt\\ &=&\frac12\int_{0}^{2\pi}\log|1+\cos t+i\sin t|\; dt-\pi\log2\\ &=&\frac12\int_{0}^{2\pi}\Re\left[\log(1+\cos t+i\sin t)\right]\; dt-\pi\log2\\ &=&\frac12\Re\left[\int_{0}^{2\pi}\log(1+\cos t+i\sin t)\; dt\right]-\pi\log2\\ &=&\frac12\Re\left[\int_{|z|=1}\log(1+z)\; \frac{dz}{iz}\right]-\pi\log2\\ &=&\frac12\times2\pi \log 1-\pi\log2\\ &=&-\pi\log2. \end{eqnarray}

Answer 3

Utilizando Series De Fourier

Como se muestra en esta respuesta, $$ \log(1+\cos(x))=2\sum_{k=1}^\infty(-1)^{k-1}\frac{\cos(kx)}{k}-\log(2)\etiqueta{1} $$ Para todos los $k\in\mathbb{Z}\setminus\{0\}$ $$ \int_0^\pi\cos(kx)\,\mathrm{d}x=0\etiqueta{2} $$ Por lo tanto, $$ \int_0^\pi\log(1+\cos(x))\,\mathrm{d}x=-\pi\log(2)\etiqueta{3} $$

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Un Enfoque Más Elementales

$$ \begin{align} \int_0^\pi\log(1+\cos(x))\,\mathrm{d}x &=\int_0^\pi\log\left(2\cos^2\left(\frac x2\right)\right)\,\mathrm{d}x\\ &=\pi\log(2)+\int_0^\pi\log\left(\cos^2\left(\frac x2\right)\right)\,\mathrm{d}x\\ &=\pi\log(2)+2\int_0^{\pi/2}\log\left(\cos^2(x)\right)\,\mathrm{d}x\tag{4} \end{align} $$ y $$ \begin{align} \int_0^\pi\log(1-\cos(x))\,\mathrm{d}x &=\int_0^\pi\log\left(2\sin^2\left(\frac x2\right)\right)\,\mathrm{d}x\\ &=\pi\log(2)+\int_0^\pi\log\left(\sin^2\left(\frac x2\right)\right)\,\mathrm{d}x\\ &=\pi\log(2)+2\int_0^{\pi/2}\log\left(\sin^2(x)\right)\,\mathrm{d}x\tag{5} \end{align} $$ Sustituyendo $x\mapsto\pi-x$, vemos que el lado izquierdo de $(4)$ es igual a la parte izquierda de $(5)$. Por lo tanto, $$ \begin{align} 2\int_0^\pi\log(1+\cos(x))\,\mathrm{d}x &=\int_0^\pi\log(1+\cos(x))\,\mathrm{d}x+\int_0^\pi\log(1-\cos(x))\,\mathrm{d}x\tag{6}\\ &=\int_0^\pi\log\left(\sin^2(x)\right)\,\mathrm{d}x\tag{7}\\ &=2\int_0^\pi\log(1-\cos(x))\,\mathrm{d}x\tag{8}\\ &=2\pi\log(2)+4\int_0^{\pi/2}\log\left(\sin^2(x)\right)\,\mathrm{d}x\tag{9}\\ &=2\pi\log(2)+2\int_0^\pi\log\left(\sin^2(x)\right)\,\mathrm{d}x\tag{10}\\ &=-2\pi\log(2)\tag{11} \end{align} $$ Explicación:
$\phantom{1}(6)$: el lado izquierdo de $(4)$ es igual a la parte izquierda de $(5)$
$\phantom{1}(7)$: agregar el integrands
$\phantom{1}(8)$: dos veces el lado izquierdo de $(4)$ es igual a dos veces el lado izquierdo de $(5)$
$\phantom{1}(9)$: aplicar $(5)$
$(10)$: $\sin(x)=\sin(\pi-x)$
$(11)$: $2$ veces $(7)$ menos $(10)$

Por lo tanto, dividiendo $(11)$$2$, obtenemos $$ \int_0^\pi\log(1+\cos(x))\,\mathrm{d}x=-\pi\log(2)\etiqueta{12} $$

Answer 4

Aviso, $$\color{blue}{\int_{0}^\pi\log(1+\cos x)\ dx}=2\int_{0}^{\pi/2}\log(1+\cos 2x)\ dx=2\int_{0}^{\pi/2}\log\left(2\cos^2 x\right)\ dx$$$$=4\int_{0}^{\pi/2}\log\left(\cos x\right) \ dx + 2\log2\int_0 ^ {\pi/2} \ dx $$ $% $ $=4\color{red}{I}+\pi\log2\tag 1$

Donde, $$\color{red}{I}=\int_{0}^{\pi/2}\log\left(\cos x\right)\ dx\tag 2$ $ $$I=\int_{0}^{\pi/2}\log\left(\sin \left(\frac \pi2-x\right)\right)\ dx=\int_{0}^{\pi/2}\log\left(\sin x\right)\ dx\tag 3$ $ agregar (2) y (3), uno debe obtener $$2I=\int_{0}^{\pi/2}\log\left(\sin x\cos x\right)\ dx=\int_{0}^{\pi/2}\log\left(\frac{\sin 2x}{2}\right)\ dx=\int_{0}^{\pi/2}\log\left(\sin 2x\right)\ dx-\frac{\pi}{2}\log 2$ $ $$2I=\frac{1}{2}\int_{0}^{\pi}\log\left(\sin x\right)\ dx-\frac{\pi}{2}\log 2=\frac{2}{2}\int_{0}^{\pi/2}\log\left(\sin x\right)\ dx-\frac{\pi}{2}\log 2=I-\frac{\pi}{2}\log 2$ $ $$\color{red}{I=-\frac{\pi}{2}\log 2}$$, now setting the value of $ I$ (1), uno debe obtener $$\color{blue}{\int_{0}^\pi\log(1+\cos x)\ dx}=4\left(-\frac{\pi}{2}\log 2\right)+\pi\log 2=\color{blue}{-\pi\log 2}$ $