La otra respuesta es excelente, pero ésta es una pregunta en la que he pensado mucho como estudiante de secundaria, así que añadiré una segunda respuesta.
La forma en que me planteé esta pregunta fue:
La suma y la multiplicación se parecen mucho. Ambas son conmutativas, asociativas, etc. Entonces, ¿cómo es posible que la exponenciación, que se "crea a partir de la multiplicación" exactamente igual que la multiplicación se creó a partir de la suma, sea mucho más fea que la multiplicación? Qué misteriosa propiedad $P$ que posee la suma pero de la que carece la multiplicación explica la conmutatividad de la multiplicación?
Parte de la fascinación por mi pregunta venía del hecho de que a priori, intuitivamente, habría esperado que se tratara de la conmutatividad de la suma, no de alguna propiedad sigilosa $P$ que garantizaba la conmutatividad de la multiplicación. Ahora que esto es patentemente falso, tenemos un misterio entre manos. (Leí un sentimiento similar en el Post Original).
La respuesta a la pregunta en negrita anterior que llegué es la siguiente:
(P) En la adición los números naturales son generados por el único número 1, lo que significa que cada número puede ser hecho sumando 1 a sí mismo.
En cambio, en la multiplicación, ningún número genera todos los $\mathbb{N}$ . Ahí necesitamos infinitos generadores: los primos.
Voy a demostrar que (en el idioma del Post Original) $f$ tener propiedad $P$ anterior es necesario para $g$ siendo conmutativa.
Por supuesto de forma similar se puede pedir una propiedad $Q$ de $f$ que explica la asociatividad de $g$ de la misma manera, pero esto ya se ha solucionado en la otra respuesta.
Antes de la prueba, algunas observaciones sobre $g$ :
En la expresión $g(a, b)$ el número $a$ no tiene por qué ser un número. Puede ser un elemento de cualquier conjunto $A$ sobre la que se realiza una operación binaria $f$ se define.
En cambio, el número $b$ realmente debe ser un número natural .
Esto ya es cierto para que la inducción en la definición por parte del OP tenga sentido, pero me gustaría ir un paso más allá y afirmar que la definición "correcta" de $g$ (dado arbitrario $f$ en algunos $A$ ) es ésta:
$g(a, b) := f(f(f(\ldots f(f(a, a), a), \ldots),a), a)$ con $b$ apariciones de $a$
Sé que entre los matemáticos adultos existe el tabú de considerar abiertamente que los números cuentan cosas reales que se pueden ver con los ojos, y agradezco que el OP se tomara la molestia de reescribir la definición de forma que se parezca a las matemáticas tal y como están escritas, pero creo que todos estamos de acuerdo en que en este caso este es el $g$ que todos estamos pensando en secreto.
Con esta definición en la mano, la prueba es esencialmente una línea.
A partir de la definición natural de $g$ tenemos inmediatamente que $g(a, 1) = a$ para todos $a$ (basta con escribir un $a$ y llegar a la conclusión de que usted acaba de escribir un solo $a$ ). Dicho en términos más matemáticos:
Por cada $g$ (incluyendo multiplicación, exponenciación, tetration etc) tenemos que $1$ es una unidad derecha, sin ninguna condición $f$
Ahora en general no hay razón para esperar $g$ tener una unidad izquierda también, excepto, por supuesto, cuando exigimos $g$ sea conmutativa. Cuando $g$ es conmutativa se deduce de $g(a, 1) = a$ para todos $a$ que $g(1, a) = a$ para todos $a$ y desempaquetando la definición esto sólo dice que:
(P') Para todos $a$ tenemos que $a = f(f(f(\ldots f(f(1, 1), 1), \ldots),1), 1)$ con $a$ apariciones del número $1$ .
(Esto es, por supuesto, sólo la propiedad $P$ de arriba, que es un poco más claro si lo escribimos para el caso especial de que $f = +$ :
( $P''$ ) Para todos $a$ tenemos que $a = 1 + \ldots + 1$ con $a$ apariciones de $1$
)
Última pregunta:
Comparación de $P'$ a $P''$ está claro que cuando exigimos que $f$ es asociativo además de $g$ siendo conmutativa obtenemos que $f$ necesario es igual a $+$ , similar a lo que ocurre en la otra respuesta.
Lo que no me queda claro es si podemos definir un (necesariamente) no asociativo $f$ en $\mathbb{N}$ no igual a $+$ que aún conduce a la conmutativa $g$ (y, por tanto, satisface necesariamente $P'$ ).
Esta es una pregunta que nunca hice cuando era estudiante de secundaria, en parte porque entonces todavía consideraba que la no conmutatividad de la exponenciación (en lugar de la conmutatividad de la multiplicación) era el milagro y en parte porque estaba inspirado en la otra respuesta.
