¿Cuál es la cofinalidad de los subconjuntos coinfinitos de ${\bf N}$ ?

Question

Sea ${\mathcal A}$ sea la familia de subconjuntos $A$ de los números naturales ${\mathbf N}$ que son coinfinitos (es decir, su complemento es infinito). Ordenamos parcialmente esta familia por inclusión de conjuntos. A cofinal subconjunto de ${\mathcal A}$ es una subcolección ${\mathcal A}'$ de forma que cada $A$ en ${\mathcal A}$ está contenida en algún $A' \in {\mathcal A}'$ . En cofinalidad de ${\mathcal A}$ es la cardinalidad mínima de un subconjunto cofinal ${\mathcal A}'$ de ${\mathcal A}$ . ${}{}{}$

Una fácil aplicación del argumento de la diagonal de Cantor muestra que la cofinalidad de ${\mathcal A}$ es incontable, y la cofinalidad está, por supuesto, dominada por la cardinalidad del continuo; así, en la hipótesis del continuo, la cofinalidad es igual a la cardinalidad del continuo. En general, ¿cuáles son los valores posibles de esta cofinalidad?

Hace muchos años hizo una pregunta similar acerca de $\omega^{\omega}$ pero el poset ${\mathcal A}$ parece tener una estructura bastante diferente (por ejemplo, no está cerrado bajo uniones), por lo que la respuesta a esta pregunta puede ser bastante diferente.

Answer 1

Cada familia cofinal $\mathcal{A}'$ debe tener tamaño continuo. La razón es que existe una familia casi disjunta $\mathcal{D}$ de tamaño continuo, una familia de conjuntos coinfinitos infinitos $A\subseteq\mathbb{N}$ para las que dos cualesquiera tienen intersección finita. Para construir una familia casi disjunta de este tipo, etiquete los nodos del árbol binario infinito con números naturales distintos y tome los conjuntos de etiquetas que surgen a lo largo de cualquier rama del árbol. Este árbol tiene muchas ramas continuas, y dos cualesquiera de ellas tienen intersección finita en el árbol, por lo que la familia de conjuntos de etiquetas será casi disjunta.

Ahora, si tenemos una familia casi disjunta $\mathcal{D}$ del continuo de tamaño, su familia dominante $\mathcal{A}'$ deberá contener coberturas de los complementos de estos conjuntos, es decir, coberturas $\mathbb{N}-A$ para cada $A\in \mathcal{D}$ . Pero si un conjunto $X$ cubre el complemento de $A$ entonces el complemento de $X$ se encuentra en $A$ . Por lo tanto, ningún conjunto coinfinito $X$ puede abarcar los complementos de dos $A,B\in\mathcal{D}$ ya que el complemento de $X$ estaría contenido en $A\cap B$ que es finito. Así que necesitarás un conjunto de cobertura diferente para cada $\mathbb{N}-A$ para $A\in \mathcal{D}$ . Por lo tanto, necesitará continuum muchos conjuntos en $\mathcal{A}'$ .