Ventajas de la definición secuencial de los límites

Question

El próximo semestre impartiré un curso de introducción al análisis. En él, los alumnos aprenderán sobre límites de secuencias reales y, a continuación, sobre límites de funciones en términos de secuencias.

Más concretamente, diremos que $\lim_{x\to a+}f(x) = L$ siempre que $(x_n)$ converge a $a$ con $x_n>a$ para todos $n$ tenemos $\lim_{n\to \infty} f(x_n) = L$ . Del mismo modo, diremos que $\lim_{x\to a-}f(x) = L$ siempre que $(x_n)$ converge a $a$ con $x_n< a$ para todos $n$ tenemos $\lim_{n\to \infty} f(x_n) = L$ . Entonces decimos que $\lim_{x\to a} f(x) = L$ si ambos $\lim_{x\to a+}f(x) = L$ y $\lim_{x\to a-}f(x) = L$ .

Los alumnos ya habrán visto el $\varepsilon$ - $\delta$ definiciones de límites de funciones en su curso de cálculo. La cuestión es, pues, cómo motivar adecuadamente esta segunda definición (equivalente) de límites de funciones.

¿Hay algún argumento que resulte significativamente más fácil cuando se utiliza la definición secuencial de límites de funciones en lugar de la definición secuencial de límites de funciones? $\varepsilon$ - $\delta$ definición? (Deben ser lo suficientemente elementales como para que las entiendan los estudiantes de primer curso de Matemáticas).

Por ejemplo, supongo que una vez que uno tiene el Álgebra de Límites para secuencias, obtiene gratis el Álgebra de Límites para funciones. Pero no estoy convencido de que se gane mucho haciendo las cosas de esta manera.

Edita: Gracias por las respuestas y los comentarios hasta ahora. Parece que mucha gente está a favor de enseñar la definición secuencial de los límites junto con la $\varepsilon$ - $\delta$ definición. Estoy de acuerdo en que sería útil conocer ambas definiciones. Sin embargo, para estar seguro de ello, aún me gustaría ver un ejemplo de una demostración que sea más sencilla cuando se utiliza la definición de secuencia.

Answer 1

Curiosamente, por lo que recuerdo, primero hicimos límites de sucesiones (sin funciones) y luego límites de funciones (con $\varepsilon-\delta$ ) y luego, como observación, la conexión mencionada más arriba detrás del mismo Telón de Acero. En realidad, al final de nuestro "curso de límites", nuestro profesor, o bien hizo límites sobre redes, o se detuvo un paso por debajo de ello: ciertamente dijo todas las palabras necesarias y dejó claro que para hablar de un límite de un mapeo, sólo necesitas un conjunto de "receptores" en el espacio de rango y un conjunto de "colas" en el espacio de argumento. Eso fue un poco difícil al principio, pero valió la pena al hacer la integración de Riemann, donde las colas son particiones de malla pequeña o particiones subordinadas a una partición fija. Esta visión abstracta me sigue pareciendo bastante esclarecedora; mucho más que el lema en cuestión, que, en mi opinión, sólo hace que el concepto sea más confuso (aunque es bastante útil como herramienta técnica).

La razón principal de esta opinión es que esta visión abstracta es unificadora: todas las nociones de límite que los alumnos conocerán entran dentro de esta idea, sólo varían las elecciones de captadores y colas y sólo se necesita una frase mágica: "Para cada receptor, hay una cola cuya imagen está contenida en el receptor". El lema que mencionas es separador: si se utiliza como definición y no como observación, da la impresión de que hay muchos conceptos ad hoc de límites que hay que entender y memorizar todos por separado, lo que crea un buen lío en la cabeza del alumno.

Le $\varepsilon-\delta$ La definición ya es difícil porque mezcla el concepto de límite y las descripciones técnicas de los captadores y las colas, es decir, 3 cosas que se pueden separar fácilmente y sobre las que puedes formar a los alumnos uno a uno si empiezas con la visión abstracta. Para ser sincero, todavía no lo he probado en EE.UU., pero sin duda lo haré cuando enseñe análisis de primer año (hasta ahora era o cálculo comercial, donde el juego nunca vale velas, o cursos avanzados donde se daba por supuesto que el concepto de límite ya era conocido).

Answer 2

Sólo puedo hablar de mi experiencia. Primero me enseñaron la convergencia de secuencias y más tarde la definición de límites con $\varepsilon-\delta$ y su forma equivalente con secuencias. Esto me sigue pareciendo de lo más intuitivo, pero es evidente que esta opinión está muy influida por mi educación.

Para que conste, recibí mi educación matemática detrás del Telón de Acero, y este modelo fue empleado por la mayoría de los (ahora antiguos) países comunistas. En esa época, los planes de estudios de la mayoría de esos países fueron elaborados por matemáticos influyentes que también sabían comunicar muy bien las matemáticas. (Por ejemplo, en la URSS, Kolmogorov estuvo muy implicado en la educación matemática. Incluso escribió algunos libros de texto de secundaria que se utilizaron ampliamente).

Lo que intento comunicar aquí es que el sistema de secuencias primero fue adoptado por matemáticos informados que se preocupaban por la educación matemática, fue probado a gran escala (decenas si no cientos de millones de estudiantes) durante mucho tiempo (varias décadas). Podría decirse que este sistema ha dado buenos resultados.

El libro de texto de Terry Tao sobre análisis (que me gusta mucho por varias razones) también se basa en un enfoque que da prioridad a las secuencias.

Answer 3

Hace unos años, cuando impartía un curso de segundo curso de análisis en el Reino Unido, me sorprendió comprobar lo amenas que eran las demostraciones de algunos de los resultados básicos utilizando métodos secuenciales, por ejemplo, que una función continua sobre un subconjunto acotado cerrado de $\mathbb R^n$ a $\mathbb R$ está limitada. Esto me inspiró para elaborar un artículo sobre la noción de un $1$ -punto de compactación secuencial: añadir otro punto y dejar que las secuencias en $X$ ¡sin subsecuencia convergente convergen al punto extra! También se publicó en el JLMS.

Sin embargo, para la continuidad de una función me gusta basarme en la definición de vecindad, ya que una vecindad es un objeto geométrico que se puede dibujar, mientras que la $\epsilon - \delta$ son sólo medidas del tamaño de los barrios.

Answer 4

"¿Hay algún argumento que resulte significativamente más fácil...". Hay una opción obvia: Refutar que cierta función tiene un límite en cierto punto. Demostrarlo con épsilon-delta sería una misión imposible para la mayoría de los estudiantes. Utilizar la definición de secuencia lo hace mucho más fácil y atractivo.

Answer 5

En mi opinión, no hay ninguna ventaja en definir los límites de las funciones mediante secuencias, y esta práctica debería suprimirse. Utilizando esta definición habría que probar $\aleph_1^{\aleph_0}$ de secuencias para probar una sola instancia de $\lim_{x\to a} f(x)=\alpha$ . ¿Por qué hay que introducir todas estas secuencias en el imagen?

La idea de "límite de $f(x)$ cuando $x\to a$ " es la respuesta a la siguiente pregunta: ¿Cuál es el valor "natural" de $f$ en el punto especial, tal vez "ideal". $a\ $ ? Bueno, es el valor que haría que $f$ continua allí.

Esto me lleva al punto principal: La noción primaria y suficientemente intuitiva es la noción de continuidad . Desgraciadamente, el simple concepto de continuidad de Lipschitz no cubre todos los casos que nos gustaría tratar, por ejemplo. $\sqrt{|x|}$ en $x=0$ . Por lo tanto, tenemos que cavar más profundo y llegar a $\epsilon$ y $\delta$ y así sucesivamente.

Las secuencias, por su parte, son una herramienta fundamental para construir nuevos objetos, como $e$ o $\sqrt{2}$ . Por supuesto, de paso demostraríamos que $\lim_{x\to a}f(x)=\alpha$ si para todas las secuencias $\ldots$