Cálculo simple de residuos

Question

$$\int_{\gamma(0;2)}\frac{e^{i\pi z/2}}{z^2-1} \, dz$$ Utilizando el cálculo de residuos obtuve $$-2\pi$$ Pero la respuesta es $$=i$$ Debo estar equivocado en esto, pero la respuesta no debería tener $\pi$ al menos porque la integral ya requiere $2\pi i \cdot\text{residue }$ ?

Answer 1

Estoy de acuerdo con el comentario de Gid Gut : tenemos $$\frac{e^{i\frac{\pi}{2}z}}{z^{2}-1}=\frac{e^{i\frac{\pi}{2}z}}{\left(z+1\right)\left(z-1\right)} $$ por lo que hay dos polos simples en $z=\pm1 $ . Entonces, por el teorema del residuo, obtenemos $$\oint_{\gamma\left(0,2\right)}\frac{e^{i\frac{\pi}{2}z}}{z^{2}-1}dz=2\pi i\left(\frac{e^{i\frac{\pi}{2}}}{2}-\frac{e^{-i\frac{\pi}{2}}}{2}\right)=2\pi i\left(i\sin\frac{\pi}{2}\right)=-2\pi $$