Aquí hay algo que parece funcionar. Puedo añadir más detalles si es necesario.
Supongamos que todo conjunto de reales tiene la propiedad de Baire. Entonces toda función de $\omega^{\omega} \to \omega^{\omega}$ es continua en un conjunto comeager. Obsérvese que todo conjunto comeager es ilimitado. Fijar $F \colon \omega^{\omega} \to \omega^{\omega}$ y que $C$ sea un conjunto comeager en el que $F$ es continua. Encontraremos un conjunto abierto denso $D_{i}$ ( $i \in \omega$ ) y $y \in \omega^{\omega}$ tal que $F(x)$ no consigue dominar $y$ siempre que $x \in C \cap \bigcap_{i \in \omega}D_{i}$ . Sea $\langle (i_{n}, \sigma_{n}) : n \in \omega \rangle$ sea una enumeración de $\omega \times \omega^{<\omega}$ . En el $n$ etapa de la construcción elegir $y \upharpoonright k_{n}$ para algunos $k_{n} \in \omega$ y también algunos $\tau_{n} \in \omega^{<\omega}$ ampliando $\sigma_{n}$ tal que $F(x) \upharpoonright k_{n}$ es la misma secuencia $\rho_{n}$ para todos $x \in C$ ampliando $\tau_{n}$ y $\{ j < k_{n} : \rho_{n}(j) < y(j)\}$ tiene un tamaño mínimo de $i_n$ . Entonces podemos dejar que $D_{i}$ sea el conjunto de $x \in \omega^{\omega}$ ampliando cualquiera de los conjuntos $\tau_{n}$ donde $i_{n} = i$ .
Le $\mathbb{P}_{\mathrm{max}}$ debe modificarse un poco, ya que $\mathbb{P}_{\mathrm{max}}$ necesita AD $^{+}$ para trabajar, lo que no se sabe que se deduce de AD + DC. Forzar sobre un modelo de AD $^{+}$ , $\mathbb{P}_{\mathrm{max}}$ produce un modelo de ZFC que es $\Pi_{2}$ maximal para el conjunto de potencias de $\omega_{1}$ formando (a grandes rasgos) un límite directo genérico de todos los modelos contables, sujeto a un acuerdo sobre la estacionariedad para subconjuntos de $\omega_{1}$ . Existe una $\mathbb{P}_{\mathrm{max}}$ variación para cada $\Sigma_{2}$ sentencia, donde cada modelo fija un testigo a la sentencia, y un modelo en el límite directo pasa su testigo a condiciones más fuertes. Esto no siempre tiene éxito, pero para la sentencia $\mathfrak{b} = \aleph_{1}$ tiene éxito, produciendo (sin añadir reales) un modelo de $\mathfrak{b} = \aleph_{1}$ en el que cada $\Pi_{2}$ condena por $\mathcal{P}(\omega_{1})$ que se puede forzar de forma demostrable junto con $\mathfrak{b} = \aleph_{1}$ . Por ejemplo, la declaración $\mathfrak{d} > \aleph_{1}$ . Esto se trata a nivel general en la última sección de mi artículo del Handbook of Set Theory y con más detalle en el documento Shelah-Zapletal "Modelos canónicos para $\aleph_{1}$ -combinatoria" .
Una vez elaborado este modelo, se puede tomar una familia no limitada $B$ de tamaño $\aleph_{1}$ encuentra un verdadero $y$ que no esté dominada por $F[B]$ y luego encontrar el conjunto no limitado de $x$ tal que $F(x)$ no domina $y$ de nuevo en el modelo de tierra.
Existe un argumento intermedio que podría esgrimirse utilizando el hecho de que, en virtud de AD $^{+}$ , cierto $\Sigma^{2}_{1}$ las sentencias tienen testigos Suslin, co-Suslin. Esto está en el corazón de la $\mathbb{P}_{\mathrm{max}}$ argumento. Para el problema actual, la continuidad en un conjunto comeager funciona como sustituto de ser Suslin y co-Suslin.
Moralmente, cualquier cosa que sea consistente con cardinales grandes debería ser forzable sobre un modelo de determinación sin añadir reales.
