Si $u_m \to u$ y $v_m \to v$ , does $b(u_m,v_m) \to b(u,v)$ ?

Question

En un espacio de Hilbert $H$ si $u_m \to u$ y $v_m \to v$ , does $b(u_m,v_m) \to b(u,v)$ si $b$ es una forma bilineal acotada en $H$ ?

Answer 1

Desde $b$ es una forma bilineal acotada en $H$ entonces $$|b(u,v)|\leq M||u||||v||$$ de ahí $$\begin{align}|b(u_m,v-m)-b(u,v)|&\leq|b(u_m,v_m)-b(u_m,v)|+|b(u_m,v)-b(u,v)|\\ &\leq M||u_m||||v_m-v||+M||v||||u_m-u||\end{align}$$

y puesto que $(u_m)$ es convergente entonces está acotada: $||u_m||\leq C$ así que $$\begin{align}|b(u_m,v-m)-b(u,v)|&\leq M(C||v_m-v||+||u_m-u||)\to0\end{align}$$ y podemos concluir.