Teorema del valor medio de Lagrange: ¿contradicción con un límite?

Question

Consideremos la función dada por $$f(x)=x^2\sin\frac{1}{x}$$ para todos $x\neq 0$ y $$f(0)=0.$$

Como esta función es diferenciable para cada $x\in\Bbb R$ podemos utilizar el Teorema del Valor Medio de Lagrange: Para cada $x\in\Bbb R$ hay un $\delta_x\in]0,x[$ tal que $$x^2\sin\frac{1}{x}=x(2\delta_x \sin\frac{1}{\delta_x}-\cos \frac{1}{\delta_x})$$ mientras que $$\cos\frac{1}{\delta_x}=2\delta_x \sin\left(\frac{1}{\delta_x}\right)-x\sin\frac{1}{x}$$ Ahora como $x$ tiende a $0$ , $\delta_x$ también tiende a $0$ . Pasando al límite, obtenemos $$\lim_{x \to 0}\cos\frac{1}{\delta_x}=0,$$ mientras que se sabe que $$\lim_{\delta \to 0}\cos\frac{1}{\delta}$$ no existe.

Mi pregunta. ¿Dónde está el error en mi argumentación?

Answer 1

Tienes que leerlo un poco diferente

Ya sabes, que $\forall_{x > 0} \exists_{\delta(x) \in (0,x)} $ tal que $ \cos(\frac{1}{\delta(x)}) = 2\delta(x)\sin(\frac{1}{\delta(x)}) - x\sin(\frac{1}{x}) $

Ahora, como usted ha señalado, mientras que $x\to 0^+$ entonces porque $\delta(x) \in (0,x) $ entonces $\delta(x) \to 0^+$ También.

Existe un límite de RHS y es igual a $0$ como usted afirma. Pero eso no significa que exista $\lim_{x \to 0^+} \cos(\frac{1}{x}) $ . Sólo sabemos que para una secuencia $\{ x_n\}_{n\in \mathbb N}$ tendente a $0$ existe una secuencia $\{ \delta(x_n) \}_{n \in \mathbb N }$ tendente a $0$ tal que $\lim_{n \to \infty} cos(\frac{1}{\delta(x_n)}) = 0$

Answer 2

Su $ \delta$ depende de $x$ ¡! $\delta=\delta(x)$ .

Su argumentación demuestra que $\lim_{x \to 0}\cos\frac{1}{\delta(x)}=0$ .

Pero esto no significa que $\lim_{t \to 0}\cos\frac{1}{t}$ ¡existe!