Otra forma de derivar/probar $a_n = \frac{r^{n+1} - 1}{r-1}$ para la suma de una secuencia geométrica?

Question

La forma en que sé, para una secuencia $a_1 = 1 + r + r^2 + ... + r^n$ es crear otra secuencia $a_2 = r \cdot a_1 = r + r^2 + ... + r^{n+1}$ y restar $a_1$ de $a_2$ para terminar con $$a_2 - a_1 = r^{n+1}-1 = ra_1-a_1 = a_1(r-1)$$ para que $$a_1 = \frac{r^{n+1} - 1}{r-1}$$

Sin embargo, aunque no tengo ningún problema en "creerme" el álgebra, no me resulta muy intuitiva.

¿Hay alguna otra forma de deducir esa fórmula sin recurrir a este truco algebraico? ¿O tienes una forma de pensar que la haga más intuitiva?

Answer 1

Podrías echar un vistazo a las longitudes de los lados, que puede ser más fácil. Observa que la longitud desde $O$ à $N$ viene dada por la serie geométrica Análogamente, el triángulo muestra la longitud desde $N$ à $P$ es uno menos que la serie geométrica.

A continuación, utilice un poco de triángulos similares.

Una vez que tienes eso, se deduce que tu serie geométrica finita es el triángulo anterior menos la punta del mismo.

Answer 2

¿Te acuerdas de fat fit identity? $$(x-y)=(x-y).1\\ (x^2-y^2)=(x-y)(x+y)\\ (x^3-y^3)=(x-y)(x^2+xy+y^2)\\ (x^4-y^4)=(x^3+x^2y+xy^2+y^3)\\...\\ (x^n-y^n)=(x-y)(x^{n-1}+x^{n-2}y+x^{n-3}y^2+...x^{2}y^{n-3}+xy^{n-2}+y^{n-1})$$ así que ahora :take $x=r ,y=1$ tendrás $$(x^n-y^n)=(x-y)(x^{n-1}+x^{n-2}y+x^{n-3}y^2+...x^{2}y^{n-3}+xy^{n-2}+y^{n-1})\\(r^n-1^n)=(r-1)(r^{n-1}+r^{n-2}1+r^{n-3}1^2+...r^{2}1^{n-3}+r1^{n-2}+1^{n-1})\\ (r^n-1)=(r-1)(r^{n-1}+r^{n-2}+...+r^2+r+1)\\ (r^{n-1}+r^{n-2}+...+r^2+r+1)=\frac{(r^n-1)}{r-1}$$ En el caso de $|r|<1$ t como la siguiente