La pregunta es exactamente la del título. En general, me interesan todas las preguntas del tipo "¿qué forzamientos preservan la propiedad P?" para cualquier P, pero los supuestos de determinismo ocupan un lugar especial en mis intereses. Más concretamente, ¿qué resultados se conocen de la forma "los forzamientos que preservan $\Gamma$ -determinación son exactamente las siguientes: . . ." para $\Gamma$ ¿algún punto razonablemente natural? A los efectos de esta pregunta, considero que mi conjunto base es $\mathbb{N}$ (es decir, todos los conjuntos de resultados son subconjuntos de $\mathbb{N}^\mathbb{N}$ ).
Lo que he podido averiguar hasta ahora (que no es mucho):
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Los forzamientos continuos-cerrados preservan todos los supuestos de determinismo. Esto se debe a que los forzamientos continuos-cerrados no añaden nuevos conjuntos de reales, por lo que no hay nuevos conjuntos de resultados, ni nuevos puntos en los antiguos conjuntos de resultados, ni nuevas estrategias.
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Los forzamientos contablemente cerrados preservan la PD (determinación proyectiva). Un forzamiento contablemente cerrado no añade nuevos reales, y por tanto preserva la verdad de las fórmulas analíticas con parámetros (=definiciones de conjuntos proyectivos), y puesto que no se añaden nuevos reales, tampoco se añaden nuevas estrategias. (Como señala Andreas más adelante, "contablemente cerrado" puede sustituirse por "no añade nuevos reales").
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El cierre contable es no suficiente para garantizar la conservación de AD. La construcción habitual de un juego no determinado puede reformularse como una construcción forzada contablemente cerrada sobre un modelo de ZF; e incluso si el modelo básico satisface AD, la extensión genérica tendrá un juego no determinado.
He intentado averiguar si alguno de estos resultados se invierte, pero no he tenido éxito. La forma en que yo intentaría expresar tal inversión sería algo como lo siguiente:
(*) Si $\mathbb{P}$ es un poset sin propiedad $P$ entonces existe un modelo transitivo de la teoría de conjuntos $W$ que contiene $\mathbb{P}$ y satisfactoria $\Gamma$ -tal que el forzamiento con $\mathbb{P}$ en $W$ no conserva $\Gamma$ -determinación.
[EDIT: Como señala François, esta no es una buena manera de formular una declaración de inversión, y no está claro cuál sería una buena manera. Así que, como pregunta adicional, ¿cómo se puede formular esta idea de una manera que no sea tonta? ¿O hay alguna buena razón para creer que esto no se puede hacer]?
Así que, además de la pregunta principal, tengo las siguientes subpreguntas:
(i) ¿Se conocen resultados en la línea de (*)?
(ii) ¿Qué métodos parecen que podrían ser útiles para demostrar resultados en la línea de (*)?
(iii) En este sentido, ¿es correcto mi razonamiento en los puntos anteriores? Parece bastante sencillo, pero ya me he equivocado muchas veces en este tipo de cosas.
Gracias de antemano.
[EDIT: Olvidé mencionarlo inicialmente, pero para los propósitos de esta pregunta estoy asumiendo la consistencia de cardinales grandes arbitrarios, aunque estoy muy interesado en cuánta fuerza cardinal grande requiere cualquier respuesta].
