Un regulador de tensión permite a la carga tomar la corriente que desea, al tiempo que obliga a mantener constante la tensión en los bornes.
Un regulador de corriente permite a la carga determinar la tensión de terminal que desea, al tiempo que obliga a la corriente a permanecer constante.
Cualquiera de ellas puede implementarse con una etapa de salida principalmente de tensión (como un emisor o un seguidor de fuente) o una etapa de salida principalmente de corriente (como un colector o un drenador). La única diferencia es qué tensión o corriente de salida se detecta y retroalimenta para controlar la etapa de salida.
Para responder a su pregunta principal, la tensión no es la "causa de la corriente". Al menos, no en el sentido que impide que "la corriente es la causa del voltaje" sea cierto al mismo tiempo. Tú creas las condiciones y la corriente fluye. Aunque puedes calcular numéricamente lo que ocurre, discutir sobre la palabra "causa" te va a confundir.