¿Cuáles son las mejores aproximaciones a $\pi$ como número algebraico aunque irracional?

Question

Sé que $\pi \approx \sqrt{10}$ , pero eso sólo da un decimal correcto. También encontré una aproximación numérica algebraica que da diez lugares, pero es tan engorroso que es mucho más fácil simplemente memorizar esos diez lugares.

¿Cuál es una buena aproximación a $\pi$ como un número algebraico irracional (o entero algebraico si es posible) que es más fácil de memorizar que el número de lugares que da correcto?

EDITAR: Número algebraico preferentemente de grado bajo, como $2$ o $3$ (cuadrática o cúbica).

Answer 1

No es un polinomio de bajo grado, pero seguro que es fácil de recordar.
Sabemos que $$\frac{1}{1+x}=1-x+x^2-x^3+\cdots$$ Sustituyendo $x^2$ , $$\frac1{1+x^2}=1-x^2+x^4-x^6+\cdots$$ Pero también sabemos que $\int\frac1{1+x^2}dx=\arctan x$ .
Por lo tanto, integremos ambos lados (de $x=0$ a $x=y$ ), $$\arctan y=y-\frac{y^3}3+\frac{y^5}{5}-\frac{y^7}{7}+\cdots$$ Sustituir $y=1$ y obtenemos $$\pi=4(1-\frac13+\frac15-\frac17+\cdots)$$ .

Answer 2

¿Qué tal si $$\frac {3.1415926535}{1}$$

Es bastante fácil de memorizar, y vale hasta 10 decimales.