¿Cuáles son las mejores aproximaciones a $\pi$ como número algebraico aunque irracional?

Question

Sé que $\pi \approx \sqrt{10}$ , pero eso sólo da un decimal correcto. También encontré una aproximación numérica algebraica que da diez lugares, pero es tan engorroso que es mucho más fácil simplemente memorizar esos diez lugares.

¿Cuál es una buena aproximación a $\pi$ como un número algebraico irracional (o entero algebraico si es posible) que es más fácil de memorizar que el número de lugares que da correcto?

EDITAR: Número algebraico preferentemente de grado bajo, como $2$ o $3$ (cuadrática o cúbica).

Answer 1

Una sencilla e interesante es $$ \pi\approx \frac{3(3+\sqrt{5})}{5} = \frac{6\varphi^2}{5} \approx 3.1416407 $$ donde $\varphi$ es la proporción áurea.

Si no te molestan los números algebraicos expresados en términos de sus polinomios, aquí tienes algunos polinomios que tienen una raíz muy cercana a $\pi$ :

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$$ x^3+120x^2+164x-\frac{86529}{50}=0 $$ para la cual todas las soluciones son reales, y una solución es $x\approx 3.14159265359006$

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$$ x^4-48x^3-12x^2-33x+1613=0 $$ para el que una de las dos soluciones reales es $x\approx 3.14159265358842$

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$$ x^5+2x^4-4x^3+76x^2+149x-1595=0 $$ que tiene exactamente una solución real, $x\approx 3.14159265358998831$

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Además, aquí hay una forma interesante de expresar una de las otras formas famosas de aproximación $\pi$ En particular $\sqrt[4]{2143/22}$ : $$ \pi\approx \sqrt{\sqrt{\frac12+\frac{3!+4}{5+6}+7+89}} $$ Tenga en cuenta que los números del 1 al 9 aparecen una vez cada uno, en orden.

Answer 2

La integral de Dalzell está relacionada con la aproximación racional $\pi\approx \frac{22}{7}$ .

$$\pi=\frac{22}{7}-\int_0^1 \frac{x^4(1-x)^4}{1+x^2}dx\approx\frac{22}{7}$$

Las integrales pequeñas similares se relacionan con aproximaciones irracionales simples utilizando $\sqrt{2}$ y $\sqrt{3}$ .

$$\pi=\frac{20\sqrt{2}}{9}-\frac{2\sqrt{2}}{3} \int_0^1 \frac{x^4(1-x)^4}{1+x^2+x^4+x^6}dx\approx \frac{20\sqrt{2}}{9}$$

$$\pi=\frac{9\sqrt{3}}{5}+\frac{6\sqrt{3}}{5}\int_0^1\frac{x^3(1-x)^2}{1+x^2+x^4}dx\approx \frac{9\sqrt{3}}{5} $$

Fracciones $\frac{20}{9}$ y $\frac{9}{5}$ son convergentes de $\frac{\pi}{\sqrt{2}}$ y $\frac{\pi}{\sqrt{3}}$ respectivamente.

Answer 3

¿Qué tal si $$\pi \simeq \sqrt [3]{\cfrac{31}{1-\cfrac{12}{39^3-40}}}\tag{11 d.p.}$$ Fácil de recordar porque $\pi^3\approx 31$ y $39$ es el número anterior a $40$ .

Además, una aproximación bastante genial es: $$\pi - e\simeq 1-\frac 1{\sqrt 3} + \frac{1}{\sqrt{11^6+13^5+19^4+24^3+33^2+\sqrt 5}}\tag{13 d.p.}$$

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He aquí algunas aproximaciones dadas por Ramanujan:

$$\pi\simeq \frac{12}{\sqrt {130}}\log_e \bigg\{\frac{(2+\sqrt 5)(3+\sqrt {13})}{\sqrt 2}\bigg\}\tag{15 d.p.}$$

$$\pi \simeq \frac{24}{\sqrt {142}}\log_e \Bigg\{\sqrt{\frac{10+7\sqrt 2}{4}}+\sqrt{\frac{10+11\sqrt 2}{4}}\Bigg\}\tag{16 d.p.}$$

$$\pi \simeq \frac{12}{\sqrt {190}}\log_e\big\{(2\sqrt 2+10)(3+\sqrt {10})\big\}\tag{18 d.p.}$$

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Una aproximación de tipo Chebyshev: $$\pi\simeq \bigg(9^2+\frac{19^2}{22}\bigg)^{1/4}\tag{8 d.p.}$$

Answer 4

Se utiliza para memorizar fracciones o raíces cúbicas o cuadradas o logaritmos naturales para aproximaciones de pi Fracción decimal más práctica (limitada a 10 15 lugares) 3.141592535897932384626.

Answer 5

Se pueden producir algunas buenas aproximaciones aprovechando las ideas de Arquímedes. La diferencia entre un círculo unitario y un círculo regular inscrito $n$ -agon se hace por $n$ segmentos del círculo. Si los aproximamos con parabólica segmentos y llame a $$ A_n = \frac{n}{2}\sin\frac{2\pi}{n}=n\sin\frac{\pi}{n}\cos\frac{\pi}{n} $$ el área del inscrito $n$ -agon, obtenemos que $$ \pi \approx \frac{4 A_{2n}-A_n}{3} = \frac{n}{3}\sin\frac{\pi}{n}\left(4-\cos\frac{\pi}{n}\right)$$ donde el error absoluto se comporta como $\frac{C}{n^5}$ . Aquí algunas aproximaciones derivadas a través de este método geométrico: $$\begin{array}{l|c|l}\hline n=12 & 4\sqrt{6}-4\sqrt{2}-1 & 3.141104722\\ \hline n=24 & \sqrt{2}-\sqrt{6}+8 \sqrt{8-4 \sqrt{2+\sqrt{3}}}&3.141561971\\ \hline\end{array}$$ Esto se puede mejorar aún más. Por ejemplo, como la serie MacLaurin de $\frac{x}{\sin x}$ y $\frac{1}{15}\left(68+11\cos(x)-64\cos(x/2)\right)$ acordar hasta el $x^6$ término (la misma idea ha sido explotada aquí ) tenemos $$ \pi \approx \frac{n}{15}\sin\frac{\pi}{n}\left(68+11\cos\frac{\pi}{n}-15\cos\frac{\pi}{2n}\right) $$ y las siguientes aproximaciones algebraicas:

$$\begin{array}{l|c|l}\hline n=6 & \frac{1}{10}\left(136+11\sqrt{3}-64\sqrt{2+\sqrt{3}}\right) & 3.141405312\\ \hline n=12 & \frac{\sqrt{3}-1}{5\sqrt{2}}\left(136+11\sqrt{2+\sqrt{3}}-64\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{3}}}\right) &3.141589664\\ \hline \end{array}$$

Se pueden derivar muchas otras aproximaciones (tanto precisas como razonablemente sencillas) combinando alguna versión de la Desigualdad de Shafer-Fink y las fórmulas de Machin, por ejemplo $$\pi\approx \frac{180}{16 \sqrt{20+6 \sqrt{10}}+6 \sqrt{10}+21}+\frac{90}{8 \sqrt{10+4 \sqrt{5}}+3 \sqrt{5}+7}$$ cuyo error es $<10^{-6}$ o $$ \pi \approx \frac{360}{7+7\sqrt{2}+6 \sqrt{2 \left(2+\sqrt{2}\right)}+16 \sqrt{2 \left(2+\sqrt{2}\right) \left(\sqrt{2+\sqrt{2}}+2\right)}}$$ cuyo error es $<4\cdot 10^{-7}$ .