¿Cuáles son las mejores aproximaciones a $\pi$ como número algebraico aunque irracional?

Question

Sé que $\pi \approx \sqrt{10}$ , pero eso sólo da un decimal correcto. También encontré una aproximación numérica algebraica que da diez lugares, pero es tan engorroso que es mucho más fácil simplemente memorizar esos diez lugares.

¿Cuál es una buena aproximación a $\pi$ como un número algebraico irracional (o entero algebraico si es posible) que es más fácil de memorizar que el número de lugares que da correcto?

EDITAR: Número algebraico preferentemente de grado bajo, como $2$ o $3$ (cuadrática o cúbica).

Answer 1

( ampliando mis comentarios )

Empecemos con la fracción $\;\dfrac{355}{113}\,$ fácil de recordar con algo como :
"duplicando las probabilidades de estar cerca del pi" (sea lo que sea que esto signifique...).

Es fácil de encontrar a partir del fracción continua de $\pi$ y se detiene justo antes del término (relativamente) grande $292$ : \begin {align} \pi &=[3; 7, 15, 1 \color {#00ff00}{, 292, 1, 1, 2, 1, 3, 1, 14, \cdots }] \\ \pi & \approx \frac {355}{113} \approx 3.141592 \color {#808080}{035} \\ \end {align}

Mi siguiente paso será calcular las fracciones continuas de las primeras potencias de $\pi\,$ y detener la expansión antes del primer término grande (como antes) para obtener :

$$\frac {355}{113},\; \sqrt{\frac{227}{23}},\; \sqrt[3]{31},\;\sqrt[4]{\frac{2143}{22}},\;\sqrt[5]{306},\cdots, \;\sqrt[11]{294204},\cdots$$

Después de la primera potencia, el término más interesante fue el cuarto: \begin {align} \pi ^4&=[97; 2, 2, 3, 1 \color {#00ff00}{, 16539, 1, 6, 7, 6, \cdots }] \\ \pi ^4& \approx \frac {2143}{22} \\ \pi & \approx \sqrt [4]{ \frac {2143}{22}} \approx 3.14159265 \color {#808080}{258} \\ \end {align}

Mnemotécnico : piense en "tres formas de invertir dos dos" que anotaré $\pi\approx \sqrt{+ \negthickspace+/}$ :

1. Forma de alimentación: dos $\sqrt{}\;$ para invertir la doble cuadratura $^2$ $^2$ .
2. Forma incremental: invertir dos veces dos términos de la $2\times 2$ términos $\;\underbrace{12}\underbrace{34}$
3. Dividir por $\,22$ .

Esta solución es interesante por la gran (omitida) $16539$ . Si incorporamos este término en el f.c. entonces el siguiente numerador y denominador tendrían alrededor de $4$ dígitos adicionales (ya que $\log_{10}(16539)\approx 4.2\;$ y del método para obtener la siguiente fracción en el primer enlace).
La precisión será mayor con este término suplementario (digamos $4.3$ dígitos más) pero necesitábamos $4+4$ más dígitos para esto. Sin este término utilizamos $4+2=6$ dígitos para un resultado de $10$ dígitos (excelente), con este término tenemos $8+6=14$ dígitos para un resultado de $14$ dígitos (promedio para un c.f.).

Por lo tanto, la búsqueda de los términos más grandes al principio de un c.f. (excluyendo el primer término distinto de cero) debería ser bastante interesante. Lamentablemente, los coeficientes de la f.c. tan grandes como $16539$ son bastante infrecuentes.

Este resultado fue encontrado por Ramanujan y está dada también por Mathworld con muchos otros. $$-$$ Algunos resultados adicionales :

Un palíndromo para la parte fraccionaria de $\pi$ : $\frac 1{\large{\sqrt[5]{17571}}}\approx 0.1415926\color{#808080}{48}$ (con dos términos más esto se convierte en $\sqrt[5]{\dfrac{296}{5201015}}\approx 0.141592653589\color{#808080}{63}$ ). Otro : $\;\dfrac 1{\sqrt[8]{6189766}} \approx 0.141592653\color{#808080}{64}$ .

También podemos buscar fracciones continuas $\dfrac{\log\pi}{\log n}\,$ para obtener : \begin {align} 7^{10/17}& \approx 3.141 \color {#808080}{35} \\ 6^{23/36}& \approx 3.1416 \color {#808080}{09} \\ 7^{58701/99785}& \approx 3.1415926535 \color {#808080}{9651} \\ \end {align}

Otras soluciones aleatorias quizás más cercanas a la pregunta del OP (con algunos c.f. habituales como referencia) : \begin {align} \frac {22}7 & \approx 3.14 \color {#808080}{2857} \\ \frac {8.5^2}{23} & \approx 3.141 \color {#808080}{30} \\ \sqrt [3]{31}& \approx 3.141 \color {#808080}{38} \\ \sqrt {51}-4 & \approx 3.141 \color {#808080}{428} \\ \sqrt {4508}-64 & \approx 3.141 \color {#808080}{64} \\ 4- \sqrt { \frac {14}{19}} & \approx 3.141 \color {#505050}{60} \color {#808080}{49} \\ 7- \left ( \frac {55}{28} \right )^2 & \approx 3.1415 \color {#808080}{816} \\ 1+ \left ( \frac {60}{41} \right )^2 & \approx 3.1415 \color {#808080}{82} \\ \sqrt {14434}-117 & \approx 3.1415 \color {#808080}{83} \\ 2+ \sqrt [17]{9.5} & \approx 3.14159 \color {#808080}{78} \\ 5- \sqrt [5]{22+ \frac {1}6} & \approx 3.14159 \color {#808080}{62} \\ \sqrt { \frac {1961}2}-19 & \approx 3.1415 \color {#808080}{898} \\ 2+ \sqrt [8]{ \frac {75}{26}} & \approx 3.141592 \color {#808080}{19} \\ \frac {355}{113} & \approx 3.141592 \color {#808080}{92} \\ \sqrt [11]{294204} & \approx 3.1415926 \color {#808080}{36} \\ \left ( \sqrt { \frac {1731}{76}}-3 \right )^2 & \approx 3.1415926 \color {#808080}{65} \\ \sqrt {6}+ \sqrt [3]{ \frac {61}{184}}& \approx 3.1415926 \color {#808080}{45} \\ \sqrt {35}- \sqrt [3]{ \frac {6215}{291}} & \approx 3.14159265 \color {#808080}{266} \\ \sqrt [4]{ \frac {2143}{22}}& \approx 3.14159265 \color {#808080}{258} \\ 5- \sqrt [11]{913+ \frac 16} & \approx 3.141592653 \color {#808080}{37} \\ \sqrt {5}+ \sqrt [4]{ \frac {2323}{3455}} & \approx 3.141592653 \color {#808080}{436} \\ \sqrt {4508- \frac 1{153}}-64 & \approx 3.1415926535 \color {#808080}{28} \\ \sqrt [4]{ \frac {788453}{95}}- \sqrt {41} & \approx 3.1415926535 \color {#808080}{918} \\ \sqrt [4]{ \sqrt { \frac {1087906}{63}}-34}& \approx 3.14159265358 \color {#808080}{876} \\ \frac {5419351}{1725033}& \approx 3.141592653589 \color {#808080}{815} \\ \sqrt {7}+ \sqrt [8]{ \frac {94680}{25912921}} & \approx 3.141592653589793 \color {#808080}{309} \\ \sqrt { \sqrt { \frac {10521363651}{311209}}-174} & \approx 3.141592653589793238 \color {#808080}{01} \\ \frac {21053343141}{6701487259}& \approx 3.141592653589793238462 \color {#808080}{38} \\ \sqrt { \sqrt { \frac {20448668456155}{3958899937}}-62} & \approx 3.14159265358979323846264338 \color {#808080}{5} \\ \sqrt {12}- \sqrt [3]{ \frac {626510899334}{18676834489131}} & \approx 3.1415926535897932384626433832 \color {#505050}{80} \color {#808080}{4} \end {align}

Nosotros también podríamos utilizar el algoritmos de relación de números enteros como en la respuesta de Will Jagy o este pero esto parece más engorroso para este problema.

Answer 2

Si quieres quedarte con el grado dos o tres pero no más grande, busca una implementación de PSLQ y alimentarlo con el cuádruple (con una increíble precisión decimal) $$ \left(\pi^3, \; \pi^2, \; \pi, \; 1 \right) $$ para pedir relaciones enteras, es decir, enteras $a_3, a_2, a_1, a_0$ de valor absoluto no muy grande, por lo que $$ a_3 \pi^3 + a_2 \pi^2 + a_1 \pi + a_0 $$ está muy cerca de cero. Entonces la raíz relevante de $a_3 x^3 + a_2 x^2 + a_1 x + a_0$ es una buena aproximación para $\pi.$

Los demás parecen estar obteniendo buenos resultados con el grado cuatro, podrías intentar eso, no es más difícil una vez que tienes el código para la cúbica general correcto.

jagy@phobeusjunior:~$ gp
Reading GPRC: /etc/gprc ...Done.

                               GP/PARI CALCULATOR Version 2.5.5 (released)
                        i686 running linux (ix86/GMP-5.1.2 kernel) 32-bit version
                    compiled: Sep 30 2013, gcc-4.8.1 (Ubuntu/Linaro 4.8.1-10ubuntu4) 
                 (readline v6.3 enabled [was v6.2 in Configure], extended help enabled)

                                 Copyright (C) 2000-2013 The PARI Group

PARI/GP is free software, 
? Pi
%6 = 3.141592653589793238462643383
? q = algdep(Pi,4)
%7 = 5871*x^4 - 22872*x^3 - 7585*x^2 + 60199*x + 23027
? polroots(q)
%8 = [-1.311564323926921157096862611 + 0.E-28*I, -0.3879438664397374306161177256 + 0.E-28*I, 
2.453674351288873525029590438 + 0.E-28*I, 
3.141592653589793238462643859 + 0.E-28*I]~
? 

grados cinco a diez

?  algdep(Pi,5)
%19 = 909*x^5 - 3060*x^4 + 1814*x^3 - 3389*x^2 - 723*x - 626
?  algdep(Pi,6)
%20 = 820*x^6 - 2340*x^5 - 565*x^4 + 67*x^3 - 1782*x^2 - 1008*x + 1460
?  algdep(Pi,7)
%21 = 306*x^7 - 1189*x^6 + 532*x^5 + 224*x^4 + 899*x^3 + 474*x^2 + 389*x + 485
?  algdep(Pi,8)
%22 = 27*x^8 + 46*x^7 - 256*x^6 - 564*x^5 + 43*x^4 + 672*x^3 - 104*x^2 - 201*x + 220
?  algdep(Pi,9)
%23 = 20*x^9 - 53*x^8 + 32*x^7 - 178*x^6 - 86*x^5 - 11*x^4 + 142*x^3 + 410*x^2 + 34*x + 21
?  algdep(Pi,10)
%24 = 2*x^10 - 5*x^9 - 17*x^8 + 47*x^7 - 64*x^6 + 146*x^5 - 58*x^4 + 79*x^3 + 110*x^2 + 23*x - 7
? 

grado tres:

    ?  r = algdep(Pi,3)
    %26 = 91273*x^3 + 8437*x^2 - 960500*x + 104194
    ? polroots(r)
    %27 = [-3.342734408288101386537745201 + 0.E-28*I, 0.1087047799083921816885401406 + 0.E-28*I, 
3.141592653589793238462650438 + 0.E-28*I]~
    ? 
    ? 

grado dos:

?  s = algdep(Pi,2)
%28 = 12610705*x^2 - 51111434*x + 36108636
? polroots(s)
%29 = [0.9114269040003652816200798826 + 0.E-28*I, 3.141592653589793238462659346 + 0.E-28*I]~

repitiendo el grado diez, me gusta como los coeficientes son pequeños y empiezan por 2, no he encontrado ninguna de estas mónicas (que empiezan por $1$ )

?  t = algdep(Pi,10)
%30 =   2*x^10 - 5*x^9 - 17*x^8 + 47*x^7 - 64*x^6 + 
       146*x^5 - 58*x^4 + 79*x^3 + 110*x^2 + 23*x - 7
? polroots(t)
%31 = [-3.416642530754670637725737702 + 0.E-28*I,
        0.1631777144832237629669559802 + 0.E-28*I, 
        2.659776825745310085407479343 + 0.E-28*I, 
        3.141592653589793238462643332 + 0.E-28*I,
       -0.4285725799568636122958113382 - 0.1971284716837764691749795140*I,
       -0.4285725799568636122958113382 + 0.1971284716837764691749795140*I,
        0.6277749736794889930752953905 - 1.073388946479318133923381580*I, 
        0.6277749736794889930752953905 + 1.073388946479318133923381580*I, 
       -0.2231547252544536053351545286 - 1.460683263806221846450712438*I, 
       -0.2231547252544536053351545286 + 1.460683263806221846450712438*I]~
? 

bonito gráfico:

Answer 3

Que tal,

$$ \sqrt[3] {31}=3.14138...$$

Dónde, $31$ es la duración de un mes.

Si quieres que sea memorable, siempre puedes usar,

$$\pi \sim \sqrt{{{69} \over {7}}}=3.139...$$

¿Realmente necesito explicar esto?

También puedes usar,

$$\sqrt{{69 \cdot 1001} \over {7 \cdot 1000}}=3.14117...$$

Dónde, $1001$ se refiere al libro 1001 noches árabes

Answer 4

$\root 10 \of {93648}$ es marginalmente mejor que $\sqrt{10}$ .

Pero uno de los comentarios tiene una respuesta mucho mejor, con grado de justo $4$ .

Answer 5

Difícilmente soy el primero en pensar en esto, pero puede que sea el primero en decirlo en este hilo: $\sqrt{10} \approx \pi$ sugiere que veamos los poderes de $\pi$ y ver cuál se acerca más a los enteros. Luego haz el suelo o el techo en $\pi^n$ y eso te da una aproximación como un entero algebraico irracional de grado $n$ .

Por lo tanto, $\root 3 \of 31$ (ya mencionado por Zach), $\root 5 \of 306$ etc.