¿Son medibles los conjuntos finitos?

Question

Sé que los conjuntos contables son medibles. Pero ¿es medible este conjunto {1,2,3}? Si es así ¿cómo puedo pensar en esto? Me cuesta entender el concepto.

Answer 1

Un conjunto finito es un conjunto contable. Así que inmediatamente se obtiene que el resultado se traslada a los conjuntos finitos.

Para responder realmente a tus preguntas, la forma en que se muestra esto (suponiendo que estás trabajando en los reales con la métrica euclidiana estándar), sólo se puede observar que para cualquier $\varepsilon > 0$ , $$ I_n = \left(n - \frac{\varepsilon}{2*3}, n + \frac{\varepsilon}{2*3}\right) \qquad n = 1, 2, 3 $$ es un recubrimiento de $\{1,2,3\}$ . Por tanto, por subaditividad contable $$ m_*(\{1, 2, 3\}) \le \sum_{n = 1}^{3}\ell(I_n) = \epsilon $$ y puesto que $\epsilon$ es arbitraria, vemos que $m_*(\{1, 2, 3\}) = 0$ . Como tiene medida cero es medible. Pero deberías saber que los conjuntos finitos son contables, y si no lo sabías, pues ahora ya lo sabes.

Answer 2

Falta bastante contexto, pero suponiendo que hablemos del álgebra de Lebesgue, entonces sí, ya que todos los conjuntos finitos son cerrados (la unión de muchos conjuntos finitos cerrados es cerrada).