Evaluación de una serie trigonométrica

Question

$$\mbox{Question: Evaluate}\quad \tan^{2}\left(\pi \over 16\right) + \tan^{2}\left(2\pi \over 16\right) + \tan^{2}\left(3\pi \over 16\right) + \cdots + \tan^{2}\left(7\pi \over 16\right)$$

Lo que hice: Bueno, sé que $\tan^{2}\left(7\pi/16\right)$ es lo mismo que $\cot^{2}\left(\pi/16\right)$ . Esto se repetirá para todos los valores hasta $\tan^{2}\left(4\pi/16\right)$ .

Sin embargo, no entiendo cómo proceder a partir de ahí.

Answer 1

Los 15 números $\tan k\pi/16$ , $-7\leq k\leq7$ son las raíces del polinomio (de grado 15) $(1+ix)^{16}-(1-ix)^{16}$ (utilizando la interpretación geométrica de los números complejos y su multiplicación). El polinomio es de la forma $-32ixp(x^2)$ donde $p(t)=t^7-35t^6+\dots$ es un polinomio de grado 7, las raíces de $p$ son por lo tanto $\tan^2 k\pi/2$ , $1\leq k\leq7$ . Su suma es, por tanto $35$ .

Answer 2

SUGERENCIA: Utilice la fórmula del semiángulo con $\theta = \pi/4$ encontrar $\tan(\pi/8)$ y hacer lo mismo con $\theta = \pi/8$ encontrar $\tan(\pi/16)$

EDIT: La fórmula del medio ángulo es: $$\tan(a) = \frac{2\tan(\frac{a}{2})}{1- \tan^2(\frac{a}{2})}$$ Utilice esta fórmula para $a = \pi/4$ y $a = \pi/8$

Answer 3

Como Encuentre $\sum\limits_{k=1}^{12}\tan \frac{k\pi}{13}\cdot \tan \frac{3k\pi}{13}$ ,

$$\tan16\theta=\frac{\binom{16}1t-\binom{16}3t^3+\cdots+\binom{16}{13}t^{13}-\binom{16}{15}t^{15}}{\cdots}\text{ where }t=\tan\theta$$

Si $\displaystyle\tan16\theta=0,16\theta=r\pi$ donde $r$ es cualquier número entero

$\displaystyle\implies\theta=\frac{r\pi}{16}$ donde $0\le r\le15$

Por lo tanto, las raíces de $\displaystyle\binom{16}1t-\binom{16}3t^3+\cdots+\binom{16}{13}t^{13}-\binom{16}{15}t^{15}=0$ son $\displaystyle\tan r\theta$ donde $\displaystyle0\le r\le15,r\ne8$ como $\displaystyle\tan\frac{8\cdot\pi}{16}$ no está finitamente definida

Por lo tanto, las raíces de $\displaystyle\binom{16}1-\binom{16}3t^2+\cdots+\binom{16}{13}t^{12}-\binom{16}{15}t^{14}=0$

o de $\displaystyle\binom{16}{15}t^{14}-\binom{16}{13}t^{12}+\cdots+\binom{16}3t^2-\binom{16}1=0$

son $\displaystyle\tan r\theta$ donde $\displaystyle1\le r\le15,r\ne8$

Pero como $\displaystyle\tan\frac{(16-n)\pi}{16}=\tan\left(\pi-\frac{n\pi}{16}\right)=-\tan\frac{n\pi}{16},\tan^2\frac{(16-n)\pi}{16}=\tan^2\frac{n\pi}{16};$

las raíces de $\displaystyle\binom{16}{15}u^7-\binom{16}{13}u^6+\cdots+\binom{16}3u-\binom{16}1=0$ son $\displaystyle \tan^2\frac{(16-n)\pi}{16}=\tan^2\frac{n\pi}{16}$ donde $1\le n\le 7$ o $9\le r\le15$

Ahora la fórmula de Vieta invita