Puntos racionales de una esfera en $\mathbb{R}^d$

Question

Llamar a un punto de $\mathbb{R}^d$ racional si todos sus $d$ las coordenadas son números racionales.

Q1 . ¿Son los puntos racionales densos en la esfera unidad $S :\; x_1^2 +\cdots+ x_d^2 = 1$ es decir $S$ contienen un conjunto denso de puntos racionales?

Esto es cierto para $d=2$ , puntos racionales del círculo unitario .

Q2 . Si (como sospecho) la respuesta a Q1 es Sí ¿las coordenadas racionales se vuelven aritméticamente más complicadas a medida que aumenta el tamaño? $d$ digamos en términos de su altura ?

Si $x= a/b$ es un número racional en los términos más bajos (es decir, gcd $(a,b)=1$ ), entonces la altura de $x$ es $\max \lbrace |a|,|b| \rbrace$ .

Esto está lejos de mis conocimientos. Sin duda esto es conocido, en cuyo caso un puntero sería suficiente. Muchas gracias.

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(Añadido, 22Mar13 ). Acabo de encontrar esta referencia.

Klee, Victor, y Stan Wagon. Problemas antiguos y nuevos sin resolver en geometría plana y teoría de números . Nº 11. Mathematical Association of America, 1996. p.135.

 

Answer 1

La pregunta en sí ya ha sido respondida. Permítanme añadir que en caso de $d = 3$ , se puede obtener una bonita imagen marcando todos los puntos racionales con altura inferior a algún y proyectándolo en uno de los planos de coordenadas. La imagen siguiente muestra dicha proyección de un octante de la esfera (límite de altura: 2048):

Esta imagen con una resolución de 2048 x 2048 píxeles se encuentra en https://stefan-kohl.github.io/images/ratpoints2048.png .

También hay disponibles versiones ampliadas de esta imagen:

• 5000 x 5000 píxeles, limitado a la altura = 5000
• 10000 x 10000 píxeles, limitado a la altura = 10000

Proyección de los puntos racionales de la esfera en un Esfera de Riemann -como forma hacia el avión produce una imagen como ésta:

El punto en el que la esfera toca el plano está en el centro de la imagen. Una característica de la imagen es una cuadrícula de círculos blancos con un tamaño de malla de 2, es decir el diámetro de la esfera. La mayor densidad de puntos en el centro de la de la imagen se debe a la proyección.

También hay disponibles versiones ampliadas de esta imagen:

• 5000 x 5000 píxeles, altura = 5000, ambas coordenadas de -6 a 6
• 10000 x 10000 píxeles, altura = 10000, ambas coordenadas de -8 a 8

Answer 2

Casualmente, he conocido el siguiente artículo (de 2008) de Erich Schmutz en una charla de Amos Nevo esta mañana que, creo, responde a tus dos preguntas: Puntos racionales de la esfera unitaria .

En particular, demuestra la siguiente cota de la altura de un punto racional $r = (r_1, \ldots, r_d)$ en la esfera unidad que es $\epsilon$ -cerca de $x = (x_1, \ldots, x_d)$ para la sup-norma: $$H(r) \le \left( \frac {\sqrt{32} m} \epsilon \right)^{2 m},$$ donde $m = \lceil \log_2 d \rceil$ .

Answer 3

Recientemente hemos escrito (con Keith Merrill) un artículo en el que cuantificamos aún más la densidad de puntos racionales en $S^n$ Ver http://arxiv.org/abs/1301.0989 . Espero que le sirva de ayuda.

Answer 4

Con respecto a Q1, se puede obtener una noción más precisa de la densidad contando el número $N(B)$ digamos, de puntos racionales con altura como máximo $B$ y considerar el comportamiento de esta cantidad como $B\rightarrow \infty$ . Yo pensaría en este problema proyectivamente. En este caso los puntos racionales serían $[x_1,\dots,x_n,y]$ con $x_1,\dots,x_n,y$ enteros tales que $\gcd(x_1,\dots,x_n,y)=1$ para lo cual $$ x_1^2+\cdots +x_d^2=y^2.$$ Se puede definir la altura de un punto como $\max(|x_i|,|y|)$ . Utilizando el método del círculo de Hardy-Littlewood, por ejemplo, se puede demostrar (para $d\geq 3$ ) que $$ N(B)\sim B^{d-1}\sigma_\infty\prod_p\sigma_p, $$ como $B\rightarrow \infty$ donde $\sigma_v$ es la densidad de puntos de la cuádrica en la terminación $\mathbb{Q}_v$ .

Answer 5

Quizá el siguiente documento y las referencias que contiene sean de ayuda:

MR1975458 (2004h:11031) Revisado Margulis, Gregory(1-YALE) Aproximación diofantina, celosías y flujos en espacios homogéneos. A panorama of number theory or the view from Baker's garden (Zürich, 1999), 280-310, Cambridge Univ. Press, Cambridge, 2002.