¿Estructura de modelo "tipo Joyal" para categorías (n,1)?

Question

La estructura modelo de Joyal sobre la categoría de conjuntos simpliciales, tiene monomorfismos como cofibraciones y cuasicategorías como objetos fibrantes (estos modelo $(\infty,1)$ -categorías). En HTT (sección 2.3.4) Lurie define la noción de un $n$ -categoría (este modelo $(n,1)$ -) y demuestra algunos teoremas sobre ellas. Por ejemplo, $1$ -son conjuntos simpliciales que son isomorfos a un nervio de una categoría (prop. 2.3.4.5). Además, toda cuasicategoría $\mathcal{C}$ tiene un $n$ -truncamiento $h_n\mathcal{C}$ que es un $n$ -categoría con un mapa $\mathcal{C} \to h_n\mathcal{C}$ que es universal desde $\mathcal{C}$ a un $n$ -(véase la proposición 2.3.4.12 para una declaración precisa).

Qusetion: ¿Existe una estructura modelo en la categoría de conjuntos simpliciales con monomorfismos como cofibraciones, $n$ -como objetos fibrantes y de tal forma que dos cuasicategorías son equivalentes en esta estructura modelo si y sólo si sus $n$ -truncamientos son equivalentes en la estructura del modelo Joyal?

Pregunto esto principalmente por pura curiosidad y no me he esforzado demasiado en pensar en ello yo mismo, con la esperanza de que alguien ya conozca la respuesta. Por lo tanto, tal vez hay razones simples que esto no puede suceder, en este caso (y cualquier otro caso), estoy abierto a considerar algunas variaciones.

Observación : De hecho, como aprendí de este pregunta, las cofibraciones y los objetos fibrantes determinan la estructura del modelo, por lo que la pregunta puede dividirse en dos. En primer lugar, si existe una estructura modelo con las cofibraciones y los objetos fibrantes especificados y, en caso afirmativo, cómo podemos interpretar las equivalencias débiles.

Answer 1

No sé si esto funcionará con la definición de $(n, 1)$ -categorías exactamente como indica Lurie, pero funcionará con una modificación razonable.

La definición 2.3.4.1 de HTT dice básicamente que una cuasicategoría es una $(n, 1)$ -si no tiene morfismos no triviales por encima de la dimensión $n$ e insiste en que se cumpla esta condición en la nariz . Esto es probablemente demasiado pedir si pretendemos un modelo agradable para la teoría de homotopía de $(n, 1)$ -categorías. (En particular, la definición no es invariante bajo equivalencias categóricas). Preferimos imponer esta condición homotópicamente .

Es perfectamente razonable definir un $(n, 1)$ -como una cuasicategoría cuyos espacios de mapeo son $(n-1)$ -truncado. Esto se puede resumir de la siguiente manera. En $(n, 1)$ -es una cuasicategoría $\mathcal{C}$ con la propiedad de elevación correcta con respecto a las inclusiones $\partial\Delta[m] \to \Delta[m]$ para todos $m \ge n + 2$ . Estoy bastante seguro de que esto equivale a $\mathcal{C}$ siendo categóricamente equivalente a un $(n, 1)$ -categoría en el sentido de HTT.

Ahora podemos simplemente tomar la localización izquierda de Bousfield de la estructura del modelo de Joyal con respecto a los mapas $\partial\Delta[m] \to \Delta[m]$ para $m \ge n + 2$ . Esto existe por la teoría general de las localizaciones de Bousfield (véase, por ejemplo, el libro de Hirschhorn) y tiene $(n, 1)$ -categorías como objetos fibrantes, monomorfismos como cofibraciones y equivalencias débiles entre objetos fibrantes son exactamente las equivalencias categóricas.

No conozco ninguna referencia que construya esta categoría de modelo, y mucho menos una que la desarrolle más.