¿Las matemáticas de Euler en términos de teorías modernas?

Question

Algunos aspectos del trabajo de Euler fueron formalizados en términos de las modernas teorías infinitesimales por Laugwitz, McKinzie, Tuckey y otros. Refiriéndose a estos últimos, G. Ferraro afirma que "se puede ver en funcionamiento en sus escritos una concepción de las matemáticas que es bastante ajena a la de Euler". Ferraro concluye que "el intento de precisar las nociones de Euler aplicando conceptos modernos sólo es posible si se utilizan elementos que les son esencialmente ajenos, y así la matemática euleriana se transforma en algo totalmente distinto"; véase http://dx.doi.org/10.1016/S0315-0860(03)00030-2 .

Mientras tanto, P. Reeder escribe: "Me propongo reformular un par de pruebas de la "Introductio" [de Euler] utilizando conceptos y técnicas del célebre análisis no estándar (ANE) de Abraham Robinson. En concreto, examinaré la demostración de Euler de la fórmula de Euler y su demostración de la divergencia de la serie armónica. Ambos resultados se han demostrado en siglos posteriores utilizando argumentos épsilonticos (épsilon-delta estándar). Los argumentos epsilónticos difieren significativamente de las pruebas originales de Euler". Reeder llega a la conclusión de que "la NSA posee las herramientas para proporcionar aproximaciones apropiadas de los movimientos inferenciales que se encuentran en la Introductio"; véase http://philosophy.nd.edu/assets/81379/mwpmw_13.summaries.pdf (página 6).

Los historiadores y los filósofos parecen, pues, discrepar profundamente en cuanto a la pertinencia de las teorías modernas para las matemáticas de Euler. ¿Es posible reformular las matemáticas infinitesimales de Euler a la luz de las teorías modernas?

Nota 1. Hay un hilo relacionado en ¿Se publicarían las pruebas de Euler en una revista de matemáticas moderna, sobre todo teniendo en cuenta su tratamiento del infinito?

Nota 2. Desafiamos una visión reduccionista de las matemáticas infinitesimales de Euler en un artículo reciente en El Inteligente Matemático . Aquí refutamos la reducción de H. Edwards de Euler a un marco arquimediano.

Answer 1

[Convertido de comentario a respuesta por sugerencia de Yemon Choi].

De un repaso casual al artículo de Ferraro, parece que las ideas de Euler sobre los infinitesimales, como era de esperar, no estaban formalizadas según los estándares modernos y, por tanto, no se corresponden exactamente con los conceptos actuales. Al parecer, no pensaba en un segmento de línea como un conjunto de puntos, lo que sería más parecido al análisis infinitesimal suave que al NSA. Pero otros aspectos de la descripción de Ferraro se parecen más al ANS que al AIS. Los números infinitos se imaginan como secuencias infinitamente crecientes, mientras que no todos los modelos de SIA tienen infinitesimales invertibles. Supongo que Euler utilizó la lógica aristotélica.

Answer 2

En nuestro estudio detallado de Euler aceptada para su publicación en Revista de Filosofía General de la Ciencia .

Aplicamos la distinción de Benacerraf entre ontología matemática y práctica matemática (o las estructuras que los matemáticos utilizan en la práctica) para examinar interpretaciones contrapuestas de la matemática infinitesimal de los siglos XVII y XVIII, en la obra de Bos, Ferraro, Laugwitz y otros. Detectamos el fantasma de Weierstrass tras parte de la historiografía recibida sobre la matemática infinitesimal de Euler, como cuando Ferraro propone entender a Euler en términos de una noción weierstrassiana de límite y Fraser declara que el análisis clásico es un "punto de referencia primario para entender las teorías del siglo XVIII". Mientras tanto, estudiosos como Bos y Laugwitz tratan de explorar la metodología, la práctica y los procedimientos eulerianos de un modo más fiel al del propio Euler.

El uso que hace Euler de los números enteros infinitos y de los productos infinitos asociados se analiza en el contexto de su descomposición del producto infinito para la función seno. El principio de cancelación de Euler se compara con la ley trascendental leibniziana de homogeneidad. La ley de continuidad leibniziana también encuentra eco en Euler.

Argumentamos que la suposición de Ferraro de que Euler trabajó con una noción clásica de cantidad es sintomática de una ubicación postweierstrassiana de Euler en la vía arquimediana para el desarrollo del análisis, así como de una difuminación de la distinción entre las vías duales señaladas por Bos. La interpretación de Euler en un marco conceptual arquimediano oscurece aspectos importantes de la obra de Euler. Este marco puede ser sustituido por un marco infinitesimal moderno, sintácticamente más versátil, que proporciona mejores aproximaciones a sus movimientos inferenciales.