Isomorfismo entre $E_8$ enrejado y enrejado definido por código de Hamming extendido

Question

He leído que los siguientes dos celosías son isomorfos, y, por supuesto, parece creíble, pero sería bueno tener un boceto de cómo construir el bijection.

Deje $C$ ser algunos extendida $(8,4,4)$ Código de Hamming. Por ejemplo, vamos a ser generados por:

$$G = \left(\begin{array}{cccc} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \\ {\bf 1} & {\bf 1} & {\bf 1} & {\bf 0}\end{array}\right)$$

Deje $L$ ser el enrejado se define como la que contiene todos los puntos en $\mathbb{Z}^8$ tal que la reducción del modulo $2$ componente por componente ($\phi$) le da una palabra, o en otras palabras, $L = \{x \in \mathbb{Z}^8: \phi(x) \in C\}$.

Es bien conocido y bastante fácil demostrar que el mínimo de la norma es $2$. Estos mínimos de la norma de los vectores de norma $2$ correspondiente a peso $0$ codewords tienen un $\pm 2$ en una de las $8$ entradas, por lo que hay $2 \times 8 = 16$ de estos. Los vectores de norma $2$ correspondiente a peso $4$ codewords tienen un $\pm 1$ en cuatro dígitos. Hay $14$ peso $4$ codewords, por lo que hay $14 \times 2^4$ de estos. Luego hay $2^4 + 14 \times 2^4 = 15 \times 16 = 240$ vectores de norma mínima $2$.

Deje $E$ $E_8$ celosía con la construcción con el fin de que la paridad es par y todos los puntos están bien de todo integral o medio-integral. Por un argumento similar, también hay $240$ vectores de norma mínima $\sqrt{2}$. Pero estos se ven diferentes. Por ejemplo, cualquier vectores con un $1$ en dos de las ocho posiciones de mínima norma $2$, y cada uno de estos se puede permutar las señales para dar a ${{8}\choose{2}} \times 4$ de ellos. Cualquier medio entero vector de mínima norma $2$ debe tener todas las $\frac{1}{2}$ con un número de positivos (o negativos) de las entradas, por lo que hay ${{8}\choose{2}} \times 4 + \left({{8}\choose{8}} + {{8}\choose{6}} + {{8}\choose{4}} + {{8}\choose{2}} + {{8}\choose{0}}\right) = 112 + 2^7 = 240$ total mínimo de norma $\sqrt{2}$.

Mi problema es que los vectores de norma mínima en $L$ $E$ son totalmente diferentes, incluso después de reescalado. En $L$, hay vectores con $1$ $4$ cero entradas, mientras que en $E$ hay vectores con $2$ $8$ cero entradas. Además, la forma en que el mínimo de la norma de los vectores de contado no da muchas pistas. ¿Cómo se pasa de $E$ $L$(y viceversa)?

Answer 1

He aquí una receta para identificar cualquier unimodular de celosía $L$ de la fila $8$ con $E_8$. Para ir a la inversa, sólo tiene que utilizar la inversa de la matriz. Voy a ilustrar con su $L$ (que debe utilizar el producto interior $(x,y) = \frac12 \sum_{i=1}^8 x_i y_i$ dar $E_8$).

Paso 1: elegir algunos de vectores de norma $4$$L$. Escribo como $2 e_8$ para algunos la mitad de celosía-vector unitario $e_8$. La elección no importa porque todos los $2160$ vectores de esta norma son equivalentes en virtud de la isometría grupo. Podemos usar $e_8 = \frac12(1,1,1,1,1,1,1,1)^t$ ("t" para transponer ya que usted está utilizando vectores columna).

Paso 2: Cualquiera de las $240$ vectores $v$ norma $2$ producto interior $0$, $\pm 1$, o $\pm 2$$2 e_8$. Cada uno de los extremos de los valores de $\pm 2$ se produce sólo $14$ veces, en $7$ pares de $\{v,e_8-v\}$ o $\{v,-e_8-v\}$ de acuerdo a la elección de signo. Elija uno de cada uno de los siete pares con producto interior $+1$. Restar $e_8$ a partir de cada una de estas siete vectores para obtener una media de celosía vector $e_i$ ($i=1,\ldots,7$) de la norma $1$ ortogonal a $e_8$. El $i$th par, a continuación,$e_8 \pm e_i$, lo que la elección de los otros vector en el que cada pareja solo cambia de $e_i$$-e_i$. En nuestro entorno, el catorce $v$'s son 0,1 vectores que viene a partir de los catorce palabra de peso $4$$C$, complementarias a las palabras que forman los pares. Elija uno de cada par, y obtener vectores unitarios $e_i = \frac12(\pm1, \pm1, \pm1, \pm1, \pm1, \pm1, \pm1, \pm1)^t$, cada uno con cuatro más y cuatro signos menos.

Paso 3: En este punto $L$ contiene todos los vectores $\pm e_i \pm e_j$. Afirmo que el $e_i$ ($i=1,\ldots,7$) son ortogonales no sólo a $e_8$ pero también los unos a los otros. De hecho, $(e_i,e_j) = (e_i+e_8, e_j+e_8) - 1$ es un número entero, y no puede ser $\pm 1$ si $i = j$ porque por Cauchy-Schwarz $(e_i,e_j) = \pm 1$ implica $e_j = \pm e_i$. Así que en nuestro entorno el $\pm1$ matriz con columnas $2e_1,\ldots,2e_8$ es una matriz de Hadamard.

Paso 4: se ha encontrado un sublattice de índice 2 en $L$ que consta de la suma de las combinaciones lineales de las $e_i$ y por lo tanto isomorfo con $D_8$. Recuperar $L$, ponemos en uno de los dos vectores $\frac12(e_1 + e_2 + \cdots + e_7 \pm e_8)$ generación de el trivial incluso cosets de $D_8$ en su doble. Pruebe el signo más, y comprobar si el vector resultante es en $L$. Si sí, tenemos a nuestros isomorfismo con $E_8$. Si no, tenemos el isomorfismo cambiando $e_8$$-e_8$. Para su entramado, el cambio de base de la matriz de de $E_8$ $L$ $1/2$veces una matriz de Hadamard $H$, por lo que la inversa mapa $2H^{-1} = H^t/4$. Si hice este derecho, una opción para $H$ es $$ \left( \begin{array}{cccccccc} + & + & + & + & + & + & + & + \\ + & + & + & - & - & - & - & + \\ + & - & - & + & + & - & - & + \\ - & + & - & + & - & + & - & + \\ - & + & - & - & + & - & + & + \\ - & - & + & + & - & - & + & + \\ - & - & + & - & + & + & - & + \\ + & - & - & - & - & + & + & + \end{array} \right) \ \; . $$

Como un bono podemos contar las elecciones que hemos hecho a lo largo de la manera para encontrar (mediante la toma de $L$ $E_8$ sí) que $E_8$ ha $7! 2^6 2160 = 696729600$, lo cual está de acuerdo con la conocida tamaño del grupo de Weyl $W(E_8)$.