Para $$\alpha(t) = (\cos e^t, \sin e^t, 0), \quad t\in[0,1],$$ tenemos \begin{align} \dot\alpha(t) &= e^t(-\sin e^t,\cos e^t, 0),\\ \ddot\alpha(t) &= e^t(-\sin e^t,\cos e^t, 0) + e^t(-\cos e^t,-\sin e^t, 0) = \dot\alpha(t)- e^t\alpha(t). \end{align} Dado que la normal unitaria exterior de $S^2$ es sólo $N(x,y,z)=(x,y,z)$ se deduce que, a lo largo de $\alpha,$ $$ N(t) = N(\alpha(t)) = \alpha(t). $$ Por lo tanto $$ k_g(t) = \langle N(t) \times\dot\alpha(t), \ddot\alpha(t) \rangle = \langle \alpha(t) \times \dot\alpha(t), \dot\alpha(t) \rangle-e^t \langle \alpha(t) \times \dot\alpha(t),\alpha(t)\rangle. $$ Dejaré que averigües por ti mismo por qué la última expresión es cero.
Ahora, si parametrizamos $S^2$ por $$ X(u,v) = (\cos u \cos v, \cos u \sin v, \sin u), $$ vemos que $\alpha$ se da en el local $(u,v)$ -coordenadas por $(u(t),v(t))=(0, e^t)$ . Además, $$ X_u = (-\sin u\cos v, -\sin u \sin v, \cos u), \quad X_v = (-\cos u \sin v, \cos u \cos v, 0), $$ de modo que la primera forma fundamental viene dada en estas coordenadas por $$ E = 1, \quad F= 0, \quad G=\cos^2u. $$ Lo único que queda por hacer es encontrar los símbolos de Christoffel y enchufarlo todo en las ecuaciones geodésicas. ¿Puedes hacerlo por tu cuenta?
EDITAR: Obsérvese que, junto $\alpha$ tenemos $u=u'=u'' = 0$ de modo que la primera ecuación geodésica se convierte en $$ e^{2t} \Gamma_{22}^1 = 0, $$ por lo que basta con demostrar que $\Gamma_{22}^1$ no es idénticamente cero para llegar a la conclusión deseada.
