Un ideal primo $\mathfrak{p} \subset \mathcal{O}_K$ se encuentra por encima de $p$ si $\mathfrak{p}\cap \mathbb{Z} = p\mathbb{Z}$

Question

En el caso concreto de que $\mathcal{O}_K = \mathbb{Z}[i]$ y $\mathfrak{p} = (1+i)$ cómo dar sentido a $\mathfrak{p}\cap \mathbb{Z}$ ?

Quiero saber si (1+i) está por encima de 2.

Answer 1

Sea $i : \mathbb{Z}\hookrightarrow\mathbb{Z}[i]$ sea la inclusión. Entonces $\mathfrak{p}\cap\mathbb{Z}$ es sólo la preimagen $i^{-1}(\mathfrak{p})$ . Es fácil demostrar que la preimagen de un ideal primo es también un ideal primo, por lo que en este caso la preimagen es $(p)$ para algún primo $p$ . Desde $(1+i)(1-i) = 2$ encontramos que $2\in\mathfrak{p}$ y, por tanto $2\in\mathfrak{p}\cap\mathbb{Z} = i^{-1}(\mathfrak{p})$ . Desde $(2)$ es un ideal maximal de $\mathbb{Z}$ vemos que la preimagen debe ser precisamente $(2)$ .