En teoría de campos, uno se encuentra típicamente con integrales de la forma:
$$ \mathcal{Z}[J] = \int \mathcal{D}[\phi] \exp \left( - \frac{1}{2} \int d^Dx d^Dx' \ \phi(x)A(x,x')\phi(x')+ \int d^Dx \phi(x) J(x)\right). $$
Esto puede hacerse fácilmente discretizando el espacio y suponiendo que $A(x,x')$ es real y simétrica, por lo que es diagonalizable. Supongamos, sin embargo, que hay varios campos $\phi_a(x)$ y una integral de trayectoria de la forma
$$\mathcal{Z}[J] = \int \mathcal{D}[\phi] \exp \left( - \frac{1}{2}\int d^Dx d^Dx' \ \phi_i(x)A^{ij}(x,x')\phi_j(x')+ \int d^Dx \phi(x) J(x) \right).$$
¿Cuál es la condición en $A^{ij}(x,x')$ de forma que pueda escribir
$$\mathcal{Z}[J] \propto \exp \left( \frac{1}{2}\int d^Dx d^Dx' \ J_i(x)[A^{-1}]^{ij}(x,x')J_j(x') \right)?$$ Agradeceremos cualquier ayuda.
Mis ideas: Arreglar dos $x$ y $x'$ y exigiendo $A^{ij}(x,x')=A^{ji}(x,x')$ podríamos escribir $A(x,x') = O^T D(x,x') O$ diagonalizando el $3 \times 3$ matriz. A continuación, realizando la transformación $\tilde{\phi}_a = O_{ab} \phi_b$ se dividiría la integral en tres componentes independientes, uno por cada $\tilde{\phi}_a$ . Reetiquetado $\tilde{J} = O^T J$ , produce
$$\mathcal{Z}[J] \propto \exp \left( \frac{1}{2}\int d^Dx d^Dx' \ J(x)[A^{-1}]^{ij}(x,x')J_j(x') \right).$$
Sin embargo, ¿es suficiente si $A^{ij}(x,x')=A^{ji}(x',x)$ en lugar de $A^{ij}(x,x')=A^{ji}(x,x')$ ?
