Identidades del espectro de un anillo

Question

Sea $R$ sea un anillo conmutativo, entonces el espectro de $R$ es un espacio topológico:

$$Spec(R)=\{ P:P \;\text{is a prime ideal of R} \}$$

donde los conjuntos cercanos son

$$V_{I}=\{P \in Spec(R) \;\text{such that} \; I \subset P\}$$

entonces tenemos que

$$V_I = \bigcap_{f\in I}V_f $$

Así que quiero demostrar que

1. $V_{\Sigma I_{\alpha}}=\bigcap _{\alpha}V_{I_{\alpha}}$
2. $V_{I_1 \cap I_2}=V_{I_1} \cup V_{I_2}$

Pero no sé cómo proceder en la primera. Para la segunda he utilizado la propiedad distributiva de unión e intersección para obtener:

$$V_{I_1} \cup V_{I_2}= \bigcap_{f \in I_1} V_{f} \cup \bigcap _{f_1 \in I_2} V_{f_1}=\bigcap_{f_1 \in I_2 } \bigcup_{f \in I_1} V_{f_1} \cap V_f$$

pero no se como compararlo o llegar desde este $V_{I_1 \cap I_2}$

Entonces, ¿alguien puede ayudarme a probar esto, por favor?

Edición

Para 1) Tengo esto

$\Rightarrow]$ Puesto que sabemos que $\cup I_k \subset \Sigma I_k $ el resultado es el siguiente.

$\Leftarrow]$ No sé cómo conseguir la otra contención porque ¿cómo se puede incrustar un conjunto más grande en uno pequeño?

Para 2) Tengo esto

$\Leftarrow]$ Desde $I_1 \cap I_2 \subset I_1$ y $I_1 \cap I_2 \subset I_2$ el resultado es el siguiente.

$\Rightarrow]$ El mismo problema que antes.

Answer 1

Pista: Utilice la definición de $V_I$ . Entonces para (1) hay que demostrar que $P\in\mathrm{Spec}(A)$ contiene $\sum I_k$ si, y sólo si, contiene todos los $I_k$ singularmente, y para (2) hay que demostrar que $P$ contiene $I_1\cap I_2$ si, y sólo si, contiene $I_1$ o $I_2$ .

Answer 2

Usaré $V(I)$ para denotar lo que quiere decir como $V_I$ para limpiar la notación.

1. $\sum I_\alpha$ es el ideal más pequeño que contiene todos los ideales $I_\alpha$ . por lo tanto, $P$ contiene la suma si y sólo si $P$ contiene cada $I_\alpha$ .

2. Si $I$ o $J$ se encuentra en $P$ entonces $P$ contiene ciertamente $I \cap J$ . A la inversa, supongamos $I \cap J \subseteq P$ . Supongamos, WLOG, que $I$ no está contenido en $P$ aunque. Luego hay algunos $x \in I - P$ . Pero para cualquier $y \in J$ , $xy \in I \cap J$ y así $xy \in P$ . Así, $y \in P$ así que $J \subseteq P$ como desee.