(Versión física de) la expansión de Taylor. En el contexto de la derivación de los generadores de un grupo de Lie (un álgebra de Lie a partir de un grupo de Lie)

Question

Declaración que me confunde:

"Considérese un grupo de Lie n-dimensional cuyos elementos dependen de un conjunto de parámetros $\alpha = (\alpha_1 ... \alpha_n)$ tal que $g(0) = e$ con e como identidad, y que tenía una representación d-dimensional $D(\alpha)=D(g( \alpha),$ tal que $D(0)= \mathbb{1}_{d \times d}$ . Luego, en algún pequeño barrio de $\mathbb{1}$ podemos ampliar $D(\alpha)$ como, $$D(d\alpha) = \mathbb{1} + i d \alpha_i X^i,$$ donde $X^a = -i \frac{\partial}{\partial \alpha_i} D(\alpha)|_{i=0}$ ."

Siempre he tenido problemas con esto desde la clase de mecánica cuántica y en sala. Por ejemplo, este proceso parece idéntico al siguiente, de QFT de Lancaster y Blundell para el aficionado superdotado:

Usando esta terminalología en el caso Lie:

$$ \begin{eqnarray} D(0+d\alpha) &=& D(0) + \frac{ \partial D(\alpha)}{\partial \alpha_i}d\alpha \\ &=& \mathbb{1} + (i) (-i) \frac{ \partial D(\alpha)}{\partial \alpha_i}d\alpha \\ &=& \mathbb{1} + (i) X^i d\alpha \end{eqnarray} $$

¿es correcto? Además, ¿por qué el "tomar la derivada en $\alpha=0$ ¿Importante? Y, por favor, ¿podría indicarme un sitio donde aprender este tipo de expansiones de Taylor?

También tengo algunos problemas para entender el límite de N al infinito en la ec. 9.13 de la imagen incluida. En mi mente el límite de $(1+a)^x$ como x va al infinito, es infinito... ¿Puede alguien ayudarme a comprender este límite en el caso de pasar de variaciones infinitesimales con expansiones de Taylor, a variaciones finitas?

Answer 1

1. Para los grupos matriciales -es decir, los que $G$ integrable en $n$ -por- $n$ -matrices $\mathbb{R}^{n\times n}$ - esto es realmente sólo Taylor expansión de una función $D: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^{n\times n}$ . No tiene nada de especial ni ningún truco (salvo los factores de $\mathrm{i}$ para hacer el $X$ sea hermitiana).

   Que nos estamos expandiendo en $0$ - correspondiente a $D(0)$ la identidad- es simplemente porque para un grupo de Lie arbitrario no sabemos qué $D(\alpha)$ para $\alpha\neq 0$ va más allá de "algún elemento". Nosotros podría ampliarlo, pero no sería muy útil.

   Para los grupos de Lie que no son grupos matriciales, tendrás que dejar atrás el enfoque del físico y aprender sobre la construcción del álgebra de Lie como el espacio tangente y el mapa exponencial .

2. En $\delta \alpha$ en su cita se supone que es $\delta \alpha = \frac{\alpha}{N}$ . $\mathrm{e}^{x} = \lim_{n\to\infty} (1 + \frac{x}{n})^n$ debería ser un límite más familiar para ti.