Un conjunto convexo abierto es la intersección de todos los semiplanos que lo contienen

Question

Sea $\Omega \subset \mathbb{C}$ sea un conjunto abierto convexo. Demuéstrese que $\Omega=\bigcap H_i$ donde $\Omega \subset H_i$ et $H_i = \{ z: Im(a_iz+b_i)>0, a_i,b_i \in \mathbb{C}\}$

Está bastante claro que $\Omega \subseteq \bigcap H_i$ por definición. Pero no sé cómo demostrar lo contrario. ¿Alguna idea?

Answer 1

Basta con demostrar que para cualquier $p \notin \Omega$ existe un semiplano $H$ que contiene $\Omega$ pero no $p$ . Por comodidad, traduzca así $p = 0$ . Sea $S$ sea el conjunto de $w$ con $|w| = 1$ tal que el rayo $\{t w: t > 0\}$ se cruza con $\Omega$ . Demuestre que $S$ et $-S = \{-w: w \in S\}$ son disjuntos y abiertos, y usamos el hecho de que el círculo unitario es conexo...