¿Cómo puedo obtener el valor exacto de esta serie infinita?

Question

Quiero calcular el valor exacto de esta serie infinita

$$ \sum_ {n=2}^ \infty\arcsin { \left ( \dfrac {2}{ \sqrt {n(n+1)}( \sqrt {n}+ \sqrt {n-1})} \right )}$$

Por la prueba de comparación, podemos obtener la serie es la conveniencia. Traté de encontrar algunas pistas de el valor exacto de $ \displaystyle\sum_ {n=2}^ \infty\arcsin { \left ( \dfrac { \sqrt {n}- \sqrt {n-1}}{ \sqrt {n^2-1}} \right )}$ pero el método de la fase dividida puede ser difícil de resolver.

No estoy seguro de si tiene una forma cerrada. Pero si no es así, ¿cómo puedo evaluar la suma?

Answer 1

La suma a 1000 términos, según Wolfy, es 1.55713 o $0.481892\pi$ .

Sería divertido si la suma fuera $\pi/2$ .

$\sum_{n=2}^\infty\arcsin{\left(\dfrac{2}{\sqrt{n(n+1)}(\sqrt{n}+\sqrt{n-1})}\right)} $

Más en serio, intentaré $\arcsin(x) =\arctan(\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}) $ para ver si $\arctan(u)+\arctan(v) =\arctan(\frac{u+v}{1-uv}) $ se puede utilizar.

Si $x =\dfrac{2}{\sqrt{n(n+1)}(\sqrt{n}+\sqrt{n-1})} =\dfrac{2}{f(n)} $ ,

$\begin{array}\\ \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} &=\frac{\frac{2}{f(n)}}{\sqrt{1-(\frac{2}{f(n)})^2}}\\ &=\frac{2}{\sqrt{f^2(n)-2}}\\ &=\frac{2}{\sqrt{n(n+1)(2n-1+2\sqrt{n(n-1)}-2)}}\\ &=\frac{2}{\sqrt{n(n+1)(2n-3+2\sqrt{n(n-1)})}}\\ \end{array} $

Para $n=2$ , esto es $\frac{2}{\sqrt{6(1+2\sqrt{2})}} $ .

Para $n=3$ , esto es $\frac{2}{\sqrt{12(3+2\sqrt{6})}} $ .

Combinando estos, para obtener la suma hasta 3, obtenemos

$\begin{array}\\ \dfrac{\frac{2}{\sqrt{6(1+2\sqrt{2})}}+\frac{2}{\sqrt{12(3+2\sqrt{6})}}}{1-\frac{2}{\sqrt{6(1+2\sqrt{2})}}\frac{2}{\sqrt{12(3+2\sqrt{6})}}} &=2\dfrac{\sqrt{6(1+2\sqrt{2})}+\sqrt{12(3+2\sqrt{6})}}{\sqrt{6(1+2\sqrt{2})}\sqrt{12(3+2\sqrt{6})}-4}\\ &=2\dfrac{\sqrt{6(1+2\sqrt{2})}+\sqrt{12(3+2\sqrt{6})}}{6\sqrt{2(1+2\sqrt{2}) (3+2\sqrt{6})}-4}\\ &=2\dfrac{\sqrt{6(1+2\sqrt{2})}+\sqrt{12(3+2\sqrt{6})}}{6\sqrt{2(3+6\sqrt{2}+2\sqrt{6}+4\sqrt{12})}-4}\\ &=\dfrac{\sqrt{6(1+2\sqrt{2})}+\sqrt{12(3+2\sqrt{6})}}{3\sqrt{2(3+6\sqrt{2}+2\sqrt{6}+8\sqrt{3})}-2}\\ \end{array} $

Esto no parece algo que me gustaría encontrarme en un callejón oscuro. Así que lo dejaré aquí.

Answer 2

Todavía no se han encontrado expresiones útiles para aplicar $$ \arcsin(x)-\arcsin(y)=\arcsin\left(x\sqrt{1-y^2}-y\sqrt{1-x^2}\right) $$ para la suma dada, explicaré cómo se puede aproximar el valor de la suma.

Primero podemos calcular la serie $$ \begin{align} &\arcsin\left(\frac2{\sqrt{n(n+1)}(\sqrt{n}+\sqrt{n-1})}\right)\\[6pt] &\small=n^{-3/2}-\tfrac14n^{-5/2}+\tfrac38n^{-7/2}-\tfrac7{192}n^{-9/2}+\tfrac{17}{128}n^{-11/2}+\tfrac{23}{512}n^{-13/2}+\tfrac{1277}{15360} n^{-15/2}+\tfrac{227}{16384}n^{-17/2}\\ &\small+\tfrac{3669}{32768}n^{-19/2}-\tfrac{22005}{917504}n^{-21/2}+\tfrac{30157}{262144}n^{-23/2}-\tfrac{122493}{10485760}n^{-25/2}+\tfrac{3021997}{37748736}n^{-27/2}+\tfrac{325343}{16777216} n^{-29/2}\\ &\small+\tfrac{1877155}{33554432}n^{-31/2}+\tfrac{839806723}{35433480192}n^{-33/2}+\tfrac{4843811671}{75161927680}n^{-35/2}+\tfrac{62611265}{8589934592}n^{-37/2}+\tfrac{51911966591}{670014898176}n^{-39/2}\\ &\small+\tfrac{585844333}{137438953472}n^{-41/2}+\tfrac{19229654735}{274877906944}n^{-43/2}+\tfrac{1012455521821}{49478023249920}n^{-45/2}+O\left(n^{-47/2}\right) \end{align} $$ A continuación, aplique la fórmula de la suma de Euler-Maclaurin para obtener $$ \begin{align} &\sum_{k=2}^n\arcsin\left(\frac2{\sqrt{k(k+1)}(\sqrt{k}+\sqrt{k-1})}\right)\\[6pt] &\small=C-2n^{-1/2}+\tfrac23n^{-3/2}-\tfrac25n^{-5/2}+\tfrac14n^{-7/2}-\tfrac5{36}n^{-9/2}+\tfrac{41}{704}n^{-11/2}-\tfrac{7}{416}n^{-13/2}+\tfrac{29}{1536}n^{-15/2}\\ &\small-\tfrac{209}{4352}n^{-17/2}+\tfrac{148975}{2179072}n^{-19/2}-\tfrac{9931}{172032}n^{-21/2}+\tfrac{758479}{15073280}n^{-23/2}-\tfrac{161979}{1638400}n^{-25/2}+\tfrac{6072637}{56623104}n^{-27/2}\\ &\small+\tfrac{4932997}{30408704}n^{-29/2}-\tfrac{13284961755}{40047214592}n^{-31/2}-\tfrac{10330566383}{9688842240}n^{-33/2}+\tfrac{12196256559}{5368709120}n^{-35/2}+\tfrac{1973513480505}{258234908672}n^{-37/2}\\ &\small-\tfrac{2054154874907}{111669149696}n^{-39/2}-\tfrac{61779979336283}{880468295680}n^{-41/2}+\tfrac{38613309561025709}{206845624975360}n^{-43/2}+O\left(n^{-45/2}\right) \end{align} $$ Cálculo de la suma de arcosenos hasta $n=1000$ y restando la parte no constante de la expansión asintótica, obtenemos el valor $$ C=1.577134230124889513864011795293057977459257178812501378053524 $$

Answer 3

Esto no es una respuesta, pero es demasiado largo para un comentario.

No pienso en ninguna forma cerrada posible.

Considerando $$u_n=\arcsin{\left(\dfrac{2}{\sqrt{n(n+1)}(\sqrt{n}+\sqrt{n-1})}\right)}$$ La expansión de Taylor para valores grandes de $n$ da $$u_n\simeq \left(\frac{1}{n}\right)^{3/2}-\frac{1}{4} \left(\frac{1}{n}\right)^{5/2}+\frac{3}{8} \left(\frac{1}{n}\right)^{7/2}-\frac{7}{192} \left(\frac{1}{n}\right)^{9/2}+\frac{17}{128} \left(\frac{1}{n}\right)^{11/2}+\cdots $$ Así, aproximando la suma $$\sum_{n=2}^\infty u_n \simeq \frac{1}{384} \left(384 \zeta \left(\frac{3}{2}\right)-96 \zeta \left(\frac{5}{2}\right)+144 \zeta \left(\frac{7}{2}\right)-14 \zeta \left(\frac{9}{2}\right)+51 \zeta \left(\frac{11}{2}\right)-469\right)$$ En este nivel de truncamiento, el resultado es $\approx 1.57588 $ . Aumentando el número de términos en las expansiones, llegamos al valor ya mencionado en los comentarios y respuestas $\approx1.57713$ .