Encuentra todos los reales x, y tales que 1<=x<=a , 1<=y <=b y (x^(1/3) + y^(1/3))^3 es entero.

Question

La pregunta se formuló en una entrevista en Twitter.

Para números enteros dados $a$ y $b$ encuentra todos los reales $x$ , $y$ tal que $1\leq x\leq a$ , $1\leq y\leq b$ y $(x^{1/3} + y^{1/3})^3$ es un número entero.

Answer 1

Por continuidad, $(x^{1/3}+y^{1/3})^3$ asume todo valor real comprendido entre $(1^{1/3}+1^{1/3})^3=8$ y $(a^{1/3}+b^{1/3})^3$ incluyendo todos los números enteros intermedios. No se pueden alcanzar otros números enteros.

Una vez elegido el número entero, el conjunto de $(x,y)$ valores que dan ese número entero forma una curva entre el $x=1$ y $y=1$ ejes, que se abomba hacia el origen.

En realidad no hay una respuesta bonita o agradable a esta pregunta, excepto quizás una foto.