Convexidad de la norma de Frobenius de la inversa

Question

Estoy trabajando en un problema en el que intento caracterizar si una función de pérdida es convexa o no. La función de pérdida es de la siguiente forma:

$$f(\boldsymbol{W}) = ||\boldsymbol{S} - (\boldsymbol{I} - \boldsymbol{W}^{\top})^{-1} (\boldsymbol{I} - \boldsymbol{W}^{\top})^{-\top}||_F^2,$$ donde $\boldsymbol{S}$ es una matriz simétrica conocida y $\boldsymbol{I}$ es la matriz de identidad.

No sé exactamente cómo debo proceder en este caso. Agradecería cualquier ayuda.

EDIT: Información sobre $\boldsymbol{W}$ , $\boldsymbol{W}$ corresponde a la matriz de adyacencia ponderada de un grafo acíclico dirigido. De este modo, las entradas diagonales de $\boldsymbol{W}$ siendo cero.

Answer 1

Esto no es claramente convexo, si $W$ varía en $\mathbb{R}^{n \times n} \backslash \{I\}$ con la métrica euclidiana. Si $W_1:=\epsilon I$ y $W_2:=(2+\epsilon) I$ entonces $f\left(\frac{W_1+W_2}{2}\right)$ se acerca a $\infty$ como $\epsilon \to 0$ .