Sea $f(x,y) = y + x\sin(\frac{1}{y})$ si y $\neq 0$ y $f(x,y) = 0$ si $y = 0$ . Demuestre que el límite doble es igual a $0$ pero los límites iterados DNE

Question

He estado luchando con esto un poco, sé que hay algo simple que estoy pasando por alto, pero no puedo entenderlo.

Sea $f(x)=\begin{cases}y+x\sin(\frac{1}{y}) & y\neq0\\ 0 & y=0 \\ \end{cases}$

a) Demuestre que $\lim \limits_{(x,y) \to (0,0)} f(x,y) = 0$ pero $\lim \limits_{x \to 0}$ $\lim \limits_{y \to 0} f(x,y)$ no existe.
Creo que puedo mostrar $\lim \limits_{(x,y) \to (0,0)} f(x,y) = 0$ dividiéndolo en la suma de dos límites.
Entonces habría $0 + \lim \limits_{(x,y) \to (0,0)} x\sin(\frac{1}{y})$ que creo que sería $0$ por el teorema del apretón.

Otro enfoque que probé fue suponer que $f(x,y)$ es continua y se evalúa directamente con $x,y=(0,0)$ y luego demostrar que los dos límites iterados no existen evaluando en $0^+$ y $0^-$ pero no me pareció apropiado.

Esencialmente, estoy atascado en cómo demostrar que el doble límite al final no existe, porque siento que debería por la misma lógica que el doble límite. ¡Realmente apreciaría cualquier ayuda en esto!

Answer 1

Ya has demostrado que el límite doble es $0$ utilizando el teorema de squeeze. Su prueba es correcta.

Para que exista el límite iterado $\lim_{y \to 0} [y+x\sin (\frac 1 y)]$ debe existir para todos $x$ en algún intervalo alrededor de $0$ . Fijar cualquier $x$ y demostrar que el límite no existe. Para ello busque puntos en los que $\sin (\frac 1 y)=1$ y puntos en los que $\sin (\frac 1 y)=-1$ En concreto, los puntos $\frac 1 {2n\pi+\frac {\pi} 2}$ y $\frac 1 {2n\pi+\frac {3\pi} 2}$ .