Cálculo de la homología del límite de un cuerpo de mango

Question

Dada una variedad $M$ con límite $W = \partial M$ sé que tener una descomposición de asa de $M$ permite calcular su homología, al menos en casos agradables, utilizando, por ejemplo, la homología de Morse de sus puntos críticos. ¿Es igual de fácil calcular la homología de $W$ ya que la descomposición en asas de $M$ proporciona una descripción quirúrgica de $W$ ?

Si te sirve de ayuda, me interesa un caso especialmente sencillo: $M$ es suave $2n$ -que se describe añadiendo simultáneamente un cierto número de $n$ -maneja a $D^{2n}$ . Sin embargo, mi principal preocupación es la entero homología, en lugar de sobre $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ o $\mathbb{Q}$ .

Answer 1

Para $n>1$ , el propio colector está determinado por los números de enlace entre las esferas de unión de sus asideros y los encuadres de dichos asideros. (Para $n=1$ de los círculos de unión). Los encuadres están en correspondencia 1-1 con elementos de $\pi_n(SO(n+1))$ . La homología depende de la imagen de los encuadres bajo el mapa $\pi_n(SO(n+1))\to \pi_n(S^n)$ . Geométricamente, esto significa tomar el número de enlace de su esfera de unión con un pushoff dado por el primer vector del encuadre dado. Entonces la homología se presenta por el $(-1)^{n-1}$ matriz simétrica de números de enlace e imágenes de estos encuadres. La demostración es un ejercicio que utiliza la dualidad de Poincar y la secuencia exacta larga del par $(W,M)$ .

Este es un hecho estándar en el caso $n=2$ en cuyo caso el mapa $\pi_1(SO(2))\to \pi_1(S^1)$ es una biyección, y creo que se puede encontrar en fuentes como Gompf-Stipsicz. Para el caso general de las altas dimensiones, véase Classification of (n-1)-Connected 2n-manifolds por C.T.C. Wall, Annals of Math Vol. 75, No. 1 (1962), pp. 163-189.