Funciones generadoras de momentos y transformadas de Fourier?

Question

Es una función generadora de momentos una transformada de Fourier de ¿una función de densidad de probabilidad?

En otras palabras, ¿es una función generadora de momentos simplemente la resolución espectral de una distribución de densidad de probabilidad de una variable aleatoria, es decir, una forma equivalente de caracterizar una función en términos de su amplitud, fase y frecuencia en lugar de ¿en términos de un parámetro?

Si es así, ¿podemos dar una interpretación física a esta bestia?

Lo pregunto porque en física estadística una función generadora de cumulantes , el logaritmo de una función generadora de momentos, es una cantidad aditiva que caracteriza un sistema físico. Si pensamos en la energía como una variable aleatoria, su función generadora de cumulantes tiene una interpretación muy intuitiva como la dispersión de la energía en un sistema. ¿Existe una interpretación intuitiva similar para la función generadora de momento?

Comprendo utilidad matemática de ello, pero no es sólo un concepto trucado, seguro que hay un significado detrás conceptualmente.

Answer 1

El MGF es

$M_{X}(t)=E\left[ e^{tX} \right]$

para valores reales de $t$ donde existe la expectativa. En términos de una función de densidad de probabilidad $f(x)$ ,

$M_{X}(t)=\int_{-\infty}^{\infty} e^{tx}f(x) dx.$

No se trata de una transformada de Fourier (que tendría $e^{itx}$ en lugar de $e^{tx}$ .

La función generadora de momentos es casi una transformada de Laplace de dos caras, pero la transformada de Laplace de dos caras tiene $e^{-tx}$ en lugar de $e^{tx}$ .