Una variable aleatoria continua

Question

Quiero saber si la siguiente afirmación es cierta. Si $X$ es una variable aleatoria continua y $f$ es 1-1 en el rango de $X,$ entonces $f(X)$ es una variable aleatoria continua. Si es cierto, ¿podría decirme cómo demostrarlo?

Answer 1

La afirmación es falsa. Como contraejemplo, veamos $\Omega=[0,1]$ , $\mathcal F=\mathcal B([0,1])$ , $X(\omega)=\omega$ y $f(x) = x\chi_E -x\chi_{E^c}$ donde $E\subset[0,1]$ no es (Borel)-medible. Entonces $(0,1)$ es un conjunto medible pero $f^{-1}(0,1)$ no se puede medir.

En general, dada una variable aleatoria $X$ y una función de valor real $f$ la función compuesta $f\circ X$ es una variable aleatoria si $f$ es medible (aunque no es una condición necesaria, como ha señalado @drhab en los comentarios). Esto se deduce de la mensurabilidad de la composición de funciones mensurables.

Answer 2

Con la condición adicional de que $f$ es mensurable la respuesta es: "sí".

Sea $A\subseteq\mathbb{R}$ denotan el rango de $X$ .

Hay que demostrar que para cada constante $c$ tenemos $\mathbb P\left(\left\{ f\left(X\right)=c\right\} \right)=0$ .

Tenga en cuenta que $\{f(X)=c\}=\{X\in f^{-1}(\{c\}\}=\{X\in A\cap f^{-1}(\{c\}\}$ .

Supongamos que $\mathbb P\left(\left\{ f\left(X\right)=c\right\} \right)>0$ o, de forma equivalente, que $\mathbb P\left(\left\{ X\in A\cap f^{-1}\left(\left\{ c\right\} \right)\right\} \right)>0$ .

Desde $X$ es una variable aleatoria continua esto sólo puede ser cierto si $A\cap f^{-1}\left(\left\{ c\right\} \right)$ contiene más de un elemento.

Sin embargo, esto contradice $f$ es uno a uno en $A$ .