Definición de espacio separable

Question

El único tipo de definición de separabilidad que conozco que un espacio topológico separable es aquel que tiene un subconjunto denso contable. En particular, un espacio métrico es separable si tiene un conjunto denso contable.

Pero en la demostración del Teorema 12.39 en el libro de Bruckner Análisis Real, se asume que si ${\{x_n}\} \subset X$ es contable y el espacio lineal abarcado por el conjunto ${\{x_n}\}$ sea denso en $X$ entonces $X$ es separable.

Mi pregunta es : ${\{x_n}\}$ es contable pero $\operatorname{Span}({\{x_n}\})$ es incontable, porque $\mathbb{R}$ y $\mathbb{C}$ es incontable hace una combinación lineal de incontable y contable, incontable. Entonces, ¿cómo $\operatorname{Span}({\{x_n}\})$ es contable y su cierre es $X$ hace $X$ ¿separable?

Answer 1

Sugerencia: Considere el tramo lineal de $\{x_n\}$ en $\mathbb{Q}$ . Se trata de un conjunto contable. Intenta demostrar que es denso.

Answer 2

Tratemos primero el caso en el que el campo es $\Bbb R$ .

Si ${\{x_n}\} \subset X$ es contable y el espacio lineal abarcado por el conjunto ${\{x_n}\}$ sea denso en $X$ considere

$$ C = \left \{ \sum_{i=1}^k q_i x_i :k \in \Bbb N, k>0 \text{ and } \forall i (x_i \in \{x_n\} \text{ and } q_i \in \Bbb Q) \right \} $$

Es inmediato que $C$ es contable. Ahora, dado cualquier $y \in X$ y cualquier $\varepsilon >0$ ya que $\operatorname{Span}({\{x_n}\})$ es denso en $X$ hay $x \in \operatorname{Span}({\{x_n}\})$ tal que $\|y-x\| < \frac{\varepsilon}{2}$ .

Tenga en cuenta que $x= \sum_{i=1}^k r_i x_i $ donde $k \in \Bbb N, k>0$ y $\forall i \in \{ 1,\cdots, k\}$ , $x_i \in \{x_n\}$ y $ r_i \in \Bbb R $ . Desde $\Bbb Q$ es denso en $\Bbb R$ se deduce que hay, para cada $i \in \{ 1,\cdots, k\}$ , $q_i \in \Bbb Q$ tal que $$ \left \| \sum_{i=1}^k r_i x_i - \sum_{i=1}^k q_i x_i \right \| < \frac{\varepsilon}{2}$$ es decir $$ \left \| x - \sum_{i=1}^k q_i x_i \right \| < \frac{\varepsilon}{2}$$ Clealy, $\sum_{i=1}^k q_i x_i \in C$ y $$\left \| y - \sum_{i=1}^k q_i x_i \right \|\leq \|y-x\|+ \left \| x - \sum_{i=1}^k q_i x_i \right \| < \varepsilon $$ Así que $C$ es denso en $X$ . Así que $X$ es separable.

El caso en el que el campo es $\Bbb C$ es completamente similar, utilizando el hecho de que $\Bbb Q + \Bbb Q i$ es denso en $\Bbb C$ .