El semigrupo del operador de Laplace-Beltrami en toros de 3 planos

Question

Estoy estudiando un artículo reciente en el que el autor trabajaba sobre los tori rectangulares planos 3. Se puede realizar, explicó el autor, como $\mathbb{R}^3 \over (L_1 \mathbb Z \times L_2 \mathbb Z \times L_3 \mathbb Z)$ con $L_j \in (0, \infty),j=1,2,3.$ Para mayor comodidad, utilizaremos las coordenadas del toro estándar $\mathbb{T}^3 := {\mathbb{R}^3 \over \mathbb{Z}^3}$ e incorporar la geometría del toro en la métrica riemanniana, utilizando el correspondiente operador de Laplace-Beltrami

$$\triangle = \sum_{j=1}^3 L_j^{-2} \frac{\partial^2}{\partial x_2^2}$$

A continuación definimos el propagador de Schrodinger $e^{i t \triangle} $ por

$$\mathcal{F}(e^{i t \triangle } f)(\xi)=e^{- 2 \pi i t \sum_{j=1}^3 L_j^{-2} \xi_j^2} \hat{f}(\xi), \,\,\, for\,\,\, \xi =(\xi_1,\xi_2,\xi_3)\in \mathbb{Z}^3.$$

Tengo algunas dificultades para entender cómo escaló las coordenadas del operador de Laplace. Además, no consigo entender cómo obtuvo el semigrupo. ¿Podría explicarme en detalle? Gracias de antemano.

Answer 1

Probablemente lo estés pensando demasiado, ya que se trata básicamente de un cambio de variables de cálculo multivariable.

La transformación $\mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3$ dado por $$ (x_1, x_2, x_3) \mapsto (y_1,y_2,y_3) = (L_1 x_1, L_2, x_2, L_3 x_3)$$ mapea el toroide $\mathbb{T}^3 = \mathbb{R}^3 / \mathbb{Z}^3$ al toroide rectangular $\mathbb{R}^3 / L_1\mathbb{Z} \times L_2 \mathbb{Z}\times L_3 \mathbb{Z}$ . En otras palabras, esto define un cambio de variables entre el toro estándar y el toro rectangular.

El cambio de variables satisface $$ \frac{\partial}{\partial x_i} = L_i \frac{\partial}{\partial y_i}$$

Así que el operador de Laplace en los toros rectangulares $$ \sum \left(\frac{\partial}{\partial y_i}\right)^2 = \sum \frac{1}{(L_i)^2} \left( \frac{\partial}{\partial x_i} \right)^2 $$ en las nuevas coordenadas.