¿Cuándo 2 funciones son iguales?

Question

¿Son 2 funciones iguales cuando tienen el mismo dominio, el mismo codominio y la misma ley?

EJEMPLO 1

$f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$

$x \to x^2$

y

$g: \mathbb{R} \to \mathbb{R^+_0}$ (conjunto de reales positivos con cero)

$x \to x^2$

¿son iguales?

EJEMPLO 2

$f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$

$x \to x^2$

y

$g: \mathbb{R^+_0} \to \mathbb{R}$

$x \to x^2$

¿son iguales?

Answer 1

Las funciones son conjuntos de productos cartesianos que cumplen ciertas condiciones, así por ejemplo a función $\;f:A\to B\;$ es un subconjunto $\;f\subset A\times B\;$ que debe cumplen la condición de que $\;(a,b),\,(a,b')\in f\implies b=b'\;$ .

Así, dos funciones son iguales si, al pensar en ellas como conjuntos, son iguales como tales, y esto significa que ambas son subconjuntos de la mismo producto cartesiano $\;A\times B\;$ lo que significa que tienen exactamente el mismo dominio, y también

$$(a,b)\in f\iff (a,b)\in g$$

lo que significa que puntualmente son idénticos, y en notación funcional habitual::

$$\;\forall\,a\in A\;,\;\;f(a)=g(a)\;$$

Answer 2

Bien, aquí es cuando una definición cuidadosa se vuelve tan crítica para responder a una pregunta. Necesitamos una cuidadosa definición teórica de conjuntos de una función y necesitamos algunas definiciones previas.

Def: Un par ordenado es el siguiente conjunto: (a,b)= { {a},{a,b}} donde a,b son elementos. Se dice que 2 pares ordenados son iguales si son subconjuntos el uno del otro.

Def: Sean A y B conjuntos. Entonces el producto cartesiano de 2 conjuntos es el siguiente conjunto:

$A\times B$ = { (a,b)|| $a\in A$ y $b\in B$ } Ahora la definición de una función:

Def:Sean A y B conjuntos. Entonces definimos una función de A a B, denotada $f:A \rightarrow B$ como $f\subseteq A\times B$ tal que (a,b),(a,d) $\in f$ si b = d. (En otras palabras, no hay 2 pares ordenados diferentes en una función que tengan el mismo primer miembro). A se llama dominio de la función y está formado por todos los primeros miembros de todos los pares ordenados de f. B se llama codominio de la función. El rango de la función es el conjunto de todos los segundos miembros de los pares ordenados de la función y es un subconjunto de B.

Observa que nuestra definición de función es completamente independiente de si está definida por una fórmula o no.

Veamos ahora los ejemplos. Consideremos el ejemplo 1. Dada la definición de f y g,a pesar de tener codominios diferentes,la gamas de ambas funciones es el conjunto de los reales positivos porque $x^2\geq 0$ para todos $x\in \mathbb R$ . Dado que los dominios son $\mathbb R$ tanto para f como para g ,claramente todo par ordenado en f está en g y viceversa. Por lo tanto f= g.

Consideremos ahora el ejemplo 2. El dominio de f es $\mathbb R$ mientras que el dominio de g es $\mathbb R \geq 0$ . Por lo tanto, {(x, $x^2$ )| $x\leq 0$ } $\subset f$ pero {(x, $x^2$ )| $x\leq 0$ } no es un subconjunto de g. Por lo tanto f no es igual a g.